Zur Theorie der eindeutigen analytischen Functionen. 23 



80 ist /,(.'■) eine Function, welche an allen Stellen des Gebiets 

 von j. mit Ausnahme der c t ...c ni einen endlichen und von Null 

 verschiedenen Werth hat. 



Drückt man Bodann diese Function ./',(•*') in der vorhin angegebe- 

 nen Weise aus, so ergeben sieh die unter (B, 2) und (C, 2) aufgestellten 

 Formen von /(•'')• Ans der letztem erhält man dann schliesslich mit 

 Hülfe des Theorems (B, I) den unter (('. 1) gegebenen Ausdruck dersel- 

 ben Function. 



Die im Vorstehenden zusammengestellten Ausdrücke einer eindeu- 

 tigen Function mit einer endlichen Anzahl wesentlicher singulärer Stellen 

 können nun noch weiter entwickelt werden, so dass die arithmetische 

 Abhängigkeil des Werthes der Function von dem Werthe ihres Arguments 

 unmittelbar in Evidenz tritt. In <U'\\ Formeln (li, 1) und (C, 1) ist 



für diesen /weck am angemessensten, jede Function Gl ) in der 



Form einer Potenzreihe von darzustellen. Es lässl sich aber, wie 



.1- — c 



in §. 2 nachgewiesen wird, jede Function G(x) auch darstellen als Pro- 

 ducl unendlich vieler Factoren, welche ebenso wie die Potenzen von x 

 bestimml charakterisirte Functionen sind; diese Ausdrucksform der Func- 

 tionen öl- 1 wird man am zweckmässigsten zur weiten) Entwicklung 



der Formeln (15. 2) und (C, 2) verwenden. 

 Is1 



"l -",••• ", 



die Reihe der Null-Stellen einer ganzen rationalen Function G(x), und x 

 irgend ein in dieser Reihe nicht enthaltener Werth. so hat man 



''(■'■) li / | 



Man hat schon früh versucht, diesen Satz auf transcendente ganze Func- 

 tionen auszudehnen, wobei sieh jedoch erhebliche Schwierigkeiten darbo- 

 ten. Man erkannte, dass es im Allgemeinen nöthig sei, dem Ausdruck 



auf der Rechten noch einen Factor von der Form 



i 



hinzuzufügen (Cauchy, Exercises de Math^matiques, III.}: aber dies reicht, 



