24 Weierstrass: 



wenn von dem Falle, wo Null -Stellen der Function nur in endlicher An- 

 zahl vorhanden sind, abgesehen wird, nur aus, wenn die Reihe 



S— ■ 



-^ a„ — x 



und mit ihr das Product 





convergirt, was im Allgemeinen nicht der Fall ist. 



Bei manchen Functionen gelingt es zwar, durch Festsetzung einer 

 bestimmten Aufeinanderfolge der Factoren, oder überhaupt durch Vor- 

 schrift einer bestimmten Ausführungsweise der unendlich vielen Multipli- 

 cationen das Product zu einem bedingt convergenten zu machen; im All- 

 gemeinen indess ist auch dies nicht möglich, wie unter andern das Bei- 

 spiel der Function 



1 



nOÖ 



zeigt, bei welcher das in Rede stehende, aus den Factoren 



1 -f- x , 1 + 1 ,1 + 1 - • • 



zu bildende Product unter allen Umständen divergirt. 



Aber eben diese Function weist auf den Weg hin, der zum Ziele 

 führt. Nach der von Gaufs gegebenen Definition ist der Ausdruck der- 

 selben das beständig; convers;irende unendliche Product 



n{(i+;)4^n 



oder 



d. h. die Function ist darstellbar als Product unendlich vieler Factoren, 

 welche zwar nicht ganze lineare Functionen von x, aber doch gleich die- 

 sen eindeutige Functionen mit nur Einer singulären Stelle (oo) 

 und auch nur Einer Null-Stelle sind. 



Von dieser Bemerkung ausgehend legte ich mir die Frage vor, ob 

 sich nicht jede Function G(x) aus Factoren von der Form 



