32 Weierstkass: 



Jetzt bedeute G(x) irgend eine gegebene ganze Function von x, 

 so können drei Fälle eintreten : 



1) sie hat keine Null-Stellen — dann ist sie eine Function wie die 

 eben mit G 2 (x) bezeichnete, und kann in der Form 



ausgedrückt werden; 



2) sie hat Null-Stellen in endlicher Anzahl — dann ist sie in der 

 Form 



0, (*).«** 

 darstellbar, wo G (x) eine rationale ganze Function bedeutet; 



3) sie hat unendlich viele Null-Stellen — in diesem Falle kann sie 

 auf die Form 



x*G (x).e™ 

 gebracht werden, wo A Null oder eine ganze positive Zahl, 

 G a (x) aber in der beschriebenen Weise aus den von Null ver- 

 schiedenen Null-Stellen (a 1 , a 2 , a 3 ...) der Function, einer Reihe 

 ganzer Zahlen (m 1 , m g , m 3 ...) und der Veränderlichen x zu- 

 sammenzusetzen ist. 



Dieser Function G (x) kann man nun nach dem Vorstehenden für 

 einen bestimmten Werth von x die Gestalt 





geben, wenn man n so gross annimmt, dass x dem absoluten Betrage 

 nach kleiner ist als jede der Grössen a„ +l , a n+2 ... Aus dem oben be- 

 stimmten Ausdruck der Grenze, unterhalb welcher der absolute Betrag 

 von 



stets liegt, ergiebt sich aber 



Lim. $)(x ,7i-+-l) = , 



indem 



Lim. V ■ - I — ) =0 

 ist, wenn die Zahlen m v , wie angenommen worden, so bestimmt sind, dass 



