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Hierzu ist noch Folgendes zu bemerken. Das Product, durch 

 welches G(x) dargestellt wird, convergirt — wenn es aus unendlich vie- 

 len Factoren besteht — unbedingt und zugleich für alle Werthe von x, 

 deren absoluter Betrag eine willkürlich anzunehmende Grenze nicht über- 

 steigt, gleich massig, vorausgesetzt, dass bei der angegebenen Zerlegung 

 der Function G(x) so verfahren wird, dass die Reihe 



unbedingt und für die in Rede stehenden Werthe von x gleichmässig con- 

 vergirt; was unter allen Umständen möglich ist. Denn unter dieser 

 Voraussetzung braucht man nur nachzuweisen, dass das Product 



Ä £ (;;•'") 



die angegebene Beschaffenheit besitzt, was der Fall ist, wenn die folgende 

 Bedingung erfüllt ist: Nach Annahme zweier positiven Grössen £ , £, von 

 denen die erste beliebig gross, die andere beliebig klein sein kann, muss 

 es möglich sein, eine Zahl n so zu bestimmen, dass das Product aus be- 

 liebig vielen derjenigen Functionen 



E 



{i ' m ) 



in denen v > n, für jeden Werth von x, dessen absoluter Betrag klei- 

 ner als £ ist, von der Einheit um eine Grösse abweicht, die ihrem abso- 

 lutem Betrage nach kleiner als £ ist. Dies ist aber in der That möglich. 

 Nimmt man nämlich n so gross an, dass | a„ | > £ ist, sobald v > n, so 

 hat man für jeden Werth von v, der > n und jeden Werth von x, des- 

 sen absoluter Betrag nicht grösser als £ ist, 



^ _i_ (±\ +m » 



p / X \ r=1 r ■+■ m.j \a, I 



E[-,m„) = e 



und es ist daher, wenn man von diesen Functionen beliebig viele aus- 

 wählt, und das Product derselben gleich 



setzt, | f(x) | stets kleiner als 



2) 2 



v=n+l r=l 



/■ -f- ?/t „ \ a v 



