36 Weierstrass: 



o. 



Eindeutige Functionen von x mit Einer wesentlichen 



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singulären Stelle. 



Ist f(x) eine eindeutige Function von x mit der einen wesentlichen 

 singulären Stelle co, so lässt sich in dem Falle, wo sie ausserdem belie- 

 big viele (auch unendlich viele) ausserwesentliche singulare Stellen hat, 

 eine Function G 2 (x) herstellen, für welche die Keihe der Null -Stellen 

 identisch ist mit der Reihe der Null -Stellen der Function 



l 



Dann ist G 2 (x)f(x) ebenfalls eine ganze Function von x, und man hat, 

 wenn diese mit G 1 (^x) bezeichnet wird, 



m = Wy 



Zugleich sind diese Functionen G x (x) , G 2 (x) so beschaffen, dass sie nicht 

 für denselben Werth von x beide verschwinden. Und umgekehrt, wenn 

 man zwei ganze Functionen von dieser Beschaffenheit willkürlich annimmt, 

 und wenigstens eine von ihnen transcendent ist, so stellt der Quotient 



G 2 (x) 

 eine eindeutige Function von x mit der einen wesentlichen singulären 

 Stelle oo dar. 



Ist ferner f(x) eine eindeutige Function mit einer (wesentlichen 

 oder ausserwesentlichen) singulären Stelle (c), so verwandelt sich, wenn 

 man 



X — c 



setzt, f(x) in eine Function von x' mit der einen singulären Stelle oo; 

 woraus sicli 



/w-o(rh) 



ergiebt. Dabei ist G eine transcendente oder rationale Function, jenach- 

 dem die singulare Stelle c eine wesentliche oder ausserwesentliche ist. 



O 



