42 Weierstrass: 



Hiermit ist bewiesen, dass die Ausdrücke 



(X = 1 ... n) 



und daher auch die Grössen F Q ...F n , welche jetzt mit 



K(y) ■■■ K-i(y) 



bezeichnet werden mögen, für jeden endlichen Werth der Veränderlichen 

 y definirt und eindeutige Functionen derselben mit der einen wesentlichen 

 singulären Stelle oo sind. Zugleich geht aus dem Vorstehenden hervor, 

 dass F (y) ... F n ^(y) in dem Falle, wo es für die Function /(x) ausser- 

 wesentliche singulare Stellen nicht giebt — die Zahl m also stets gleich 

 Null ist — sämmtlich ganze Functionen von y sind. 



Der Definition dieser Functionen gemäss besteht nun die Gleichung 



wenn für irgend einen endlichen Werth von y die Grösse x der 

 Gleichung </> (x) = y genügt. Versteht man also unter x' irgend einen 

 endlichen, von den c 2 ... c n verschiedenen Werth, und setzt y = </>(#'), 

 so kann man x = x' nehmen, und erhält dann 



"^F v (<p(x'))x" = /(*') ; 



d. h. es gilt für jeden Werth von x, der nicht in der Reihe (oo, c 2 ...c n ) 

 enthalten ist, die Gleichung 



Z 1 J F,(*(aO)V =/(*)• 



Es ist angenommen worden, dass c l gleich oo sei, weil dann einem 

 endlichen Werthe von y stets endliche Werthe der Grössen x 1 ...x n ent- 

 sprechen, und somit bei dem Beweise des vorstehenden Satzes das Ver- 

 halten der Functionen F v (y) in der Umgebung der Stelle oo nicht beson- 

 ders untersucht zu werden braucht. Sind aber c 1 ... c n sämmtlich end- 

 liche Grössen, so setze man 



x = c -h- 1 - , 



1 z 



und bezeichne mit tp(z) , f(z) die Functionen, in welche sich <p(x) , f(x) 

 dadurch verwandeln. Dann hat man 



