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von f(x) vorhanden sind. Ist dann (c,) irgend eine der übrigen wesent- 

 lichen singulären Stellen, und versteht man unter C, diejenige Umgebung 

 derselben, in welcher 



\x-c, | < 9 



ist, so kann man £ so klein annehmen, dass C- nur die eine wesentliche 

 singulare Stelle (cj, und Null -Stellen nur in dem Falle enthält, wo in 

 jeder Umgebung von c, sich solche finden. Wenn man dabei £ auch so 

 annimmt, dass an der Grenze von C, keine Null -Stellen liegen, und 

 dann unter C. denjenigen Theil des Gebietes von x versteht, der nach 

 Ausscheidung von G 2 , C 3 . . . übi'ig bleibt, so ist das ganze Gebiet derge- 

 stalt in Theile C\ , C, ... zerlegt, dass sich in der a. a. 0. beschriebenen 

 Weise Functionen 



G "'(jh) . 6 "{^i) 



bilden lassen, deren Null -Stellen beziehlich die in C, , C 2 ... enthaltenen 

 Null- Stellen von f(x) sind. Dabei ist, wenn es in einem dieser Theile 

 keine Null -Stellen von f(x) giebt, die entsprechende Function O^ durch 

 1 zu ersetzen; woraus erhellt, dass man auf die angegebene Weise ver- 

 fahrend die geringste Zahl von Functionen C ( -) erhält, für welche 



die Gesammtheit ihrer Null -Stellen identisch ist mit der Reihe der Null- 

 Stellen der Function fix). 



Hat nun /(.r) — wie in §. 5. angenommen worden — n (wesent- 

 liche oder ausserwesentliche) singulare Stellen (c, ... cj, so sind wieder 

 drei Fälle zu unterscheiden. 



Die singulären Stellen können sämmtlich wesentliche sein — dann 

 ist, wenn man 



/(*) = nö«(^)./ 1 (*) 



setzt, f(x) eine Function von der im vorhergehenden §. vorausgesetzten 

 Beschaffenheit, so dass sie sich, da jede ihrer wesentlichen singulären 

 Stellen in der Reihe c x ... c n enthalten ist, in der Form 



i?*(.r)rie ( '(A) 



