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toren besteht, in jedem Theile des Gebiets von x, der weder im Innern 

 noch an der Grenze eine der Stellen (c a ... c„) enthält, unbedingt und 

 gl eich massig convergirt. 



Hiermit ist vollständig nachgewiesen, wie sich jede eindeutige 

 Function f(x) mit einer endlichen Anzahl wesentlicher singulärer Stellen 

 aus den einfachsten Functionen mit Einer (wesentlichen oder ausserwesent- 

 lichen) singulären Stelle durch arithmetische Operationen zusammensetzen 

 lässt. Es bleibt aber noch übrig zu ermitteln, wie eine solche Function 

 sich in der Umgebung einer ihrer wesentlichen singulären Stellen verhält. 



8. Verhalten der untersuchten Functionen in der 

 Umgebung einer ihrer wesentlichen singulären Stellen. 



Ist f(x) eine ganze eindeutige Function, so weiss man, dass es 

 unendlich grosse Werthe von x giebt, für welche der Werth von f(x) 

 ebenfalls unendlich gross ist — mit andern Worten, dass sich, wenn a,b 

 zwei willkürlich angenommene positive Grössen sind, unter den Werthen 

 von x, die ihrem absoluten Betrage nach grösser als a sind, stets solche 

 finden, für die der absolute Betrag von f(x) grösser als b ist. 



Dasselbe gilt für jede eindeutige Function von x mit der einen 

 wesentlichen singulären Stelle oo. Man denke sich nämlich eine solche 

 Function so, wie in §. 3 angegeben worden, in der Form 



ausgedrückt, so hat man zwei Fälle zu unterscheiden. Ist der Nenner eine 

 transcendente Function, so verschwindet derselbe für unendlich viele Werthe 

 von x; unter diesen giebt es also nothwendig unendlich grosse, und in 

 einer unendlich kleinen Umgebung eines solchen Werthes ist der Werth von 

 /(.?■) unendlich gross. Ist aber G 2 (x) eine rationale Function, so kann 



