108 -  Leseung DirıchLer über einen neuen Ausdruck 
dann Y für jeden Punkt durch die Coordinaten £, u seiner Projektion aus- 
drückt. Es hat diese Darstellungsweise allerdings den Übelstand, dafs man, 
um die ganze Fläche zu umfassen, zwei Funktionen von £ und u zu betrach- 
ten hat; dieser Übelstand fällt aber für unseren Zweck weg, der nur die 
Berücksichtigung eines beliebig kleinen, den Punkt m einschliefsenden, Flä- 
chenstücks erfordert. Nimmt man die an m gelegte Tangentialebene zur 
Projektionsebene, m zum Anfangspunkt der Coordinaten und setzt / =, (tu), 
so hat diese neue Funktion keine andere Bedingung als die der Stetigkeit zu 
erfüllen. Da nun offenbar i = sinA cos /, u= sin? sin W angenommen 
werden kann, so erhält # (A) die Form: 
v0) = + Pin AcosW/, sinA ssinb) oı/, 
in welcher Form das Stattfinden der oben erwähnten Eigenschaft einleuchtet, 
wenn anders die Differentialquotienten von x, (£, u) bis zur zweiten Ordnung 
incl. für den Fall wo gleichzeiigt=0, u=0, bestimmte endliche Werthe 
behalten. Übrigens ist es für die Endlichkeit von p nicht einmal erforder- 
lich, dafs #(A) für kleine Werthe der Veränderlichen von der ersten Ord- 
nung sei; es genügt, dafs die Ordnung von #(A) mit der irgend einer posi- 
tiven Potenz von A übereinstimme. 
Ähnlich wie mit dem Unendlichwerden von e und der daraus folgen- 
den Divergenz der Reihe, verhält es sich mit dem Falle, wo die Reihe bei 
endlich bleibender Dichtigkeit zu convergiren aufhört. Dieser Fall hat so- 
gar noch weniger Umfang als der eben besprochene, wie man sich bei nähe- 
rer Erwägung der Bedingungen, von denen er abhängt, sehr leicht überzeu- 
gen wird. 
4. 
Um das wirkliche Stattfinden der Divergenz der Reihe für 9 in den 
oben bezeichneten Ausnahmefällen durch ein einfaches Beispiel zu erläutern, 
machen wir die Voraussetzung, dafs der Potentialwerth 7 den Winkel & 
nicht enthält und durch /(®) dargestellt wird. Es tritt dann bekanntlich eine 
einfachere Form für die Kugelfunktionreihen ein und man hat 
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V= 1%, (en +1) A,P, (cos9), und e=-% (en +1)” A,P, (cos9), 
dr 
