für die Dichtigkeit der unendlich dünnen Kugelschale, etc. 113 
Um den gefundenen Ausdruck noch weiter zu vereinfachen, hat man 
zu unterscheiden, ob n gerade oder ungerade ist, und erhält resp. 
Dt k(k—2)..... (k—n-+2) zul: RANK... (kon), 
GH). (EHI)... (een)? RT HD (EHs).. (ni) 
Mit Hülfe dieser Ausdrücke und der bekannten Formeln, welche die genä- 
herten Werthe von Fakultäten ergeben, deren Faktorenanzahl sehr grofs ist, 
kann man sich leicht überzeugen, dafs der oben speciell untersuchte Falk= + 
hinsichtlich der bei 9—=o und #=# stattfindenden Divergenz der Reihe gerade 
der Grenzfall ist und dafs die Divergenz aufhört, sobald k>- ist. Anders 
verhält es sich dagegen mit dem Werthe9® =; an dieser Stelle besteht die 
Divergenz und der unendlich grofse Werth der Dichtigkeit so lange fort als 
nicht k > ı angenommen wird. 
6. 
Wir wollen nun noch von dem für die Dichtigkeit gefundenen endli- 
chen Ausdruck eine Anwendung auf einen speciellen Fall machen. Wird wie- 
der Y als eine blofse Funktion von $ betrachtet, die wir in die Form /(cos 9) 
bringen können, so wird auch 9 nur von der sphärischen Entfernung 8 des 
Punktes m vom Pol p abhangen. Auf dem von m als Mittelpunkt mit dem 
sphärischen Radius A beschriebenen Kreise ist dann in Folge der Grundfor- 
mel der Trigonometrie 
V=f(cos# cosA-+sindsinAcos\b), 
wo X den Winkel zwischen einem beliebigen Radius A und dem von m nach 
p gerichteten bezeichnet. Da dieser Ausdruck für U und — X denselben 
Werth hat, so kann man das den mittleren Werth $ (A) ausdrückende In- 
tegral vonY =o bis U = nehmen und dann verdoppeln. Man erhält so: 
Ne u ui cos/) oW. 
So oft sich $'(A) ohne Te Mleeichen darstellen läfst, was namentlich der 
Fall ist, wenn f(z) oder noch allgemeiner f’(z) eine rationale Funktion von 
zist, mag nun die Form dieser Funktion für das ganze Intervall zwischen 
z=—ıunds=-+- dieselbe bleiben oder sich stellenweise so ändern, dafs 
die Stetigkeit nicht verletzt wird, wird g auf ein einfaches Integral zurückge- 
führt oder selbst ohne Integralzeichen ausgedrückt werden können (‘). 

(*) Im allgemeinen Falle wo 7 beide Winkel 5, & enthält, findet die Zurückführung von g 
auf eine einfache Quadratur immer Statt, wenn man, x = cos®, y=sind cosd, z=sin® sin & 
Math. Kl. 1850. 1: 
