414 Leseune Disichter über einen neuen Ausdruck 
Wir behandeln unter den hierher gehörigen Fällen nur den, wo /(cos$) 
—cos®, so lange 8 <=, und f(cos 9)=o, wenn H>+ angenommen wird. 
Das Integral wird sich dann nur über den Theil des Intervalls zwischen V—o 
und Y=7, erstrecken, innerhalb dessen 
cos # cosA + sin # sind cos 
positive Werthe erhält. Setzt man 9 <- voraus, auf welchen Fall der wo 
9> + ist, leicht zurückgeführt wird, so findet man durch eine einfache Dis- 
cussion des vorigen Ausdrucks, dafs so lange A unter > — 8 liegt, das Inte- 
gral vonY=obisV—=7 zu nehmen ist, dafs für die Werthe von A, welche 
zwischen 5 — 9 und 5 +9 liegen, die Grenzen des Integrals o und der durch 
die Gleichung cos cosA+sin® sinAcos/, —=0 
bestimmte, zwischen ou. z liegende Winkel/, sind und dafs endlich für > +9 
das Integral verschwindet, indem der obige Ausdruck immerfort negativ ist. 
Die Funktion # (A) ist also nach den drei eben unterschiedenen Intervallen: 
Yı 
cos# cos‘, — J(cos 9 cosA+ sind sinAcos/)d\, 0, 
wo im zweiten Falle die Ausführung der Integration zur Abkürzung der Rech- 
nung bisnach der Differentiation aufgeschoben ist. Bei dieser verschwindet das 
von der Veränderlichkeit der obern Grenze W, herrührende Glied in Folge der 
", bestimmenden Gleichung und man erhält für #'(?) die drei Ausdrücke: 
— cosd sind, £(— V, cos® sink+ sin W, sin® cosA), 0, 
an welchen man sich im Vorbeigehen überzeugen kann, dafs wenigstens so lange 
m auf der Halbkugel bleibt, für welche sie gelten, #'(A) nicht unendlich wird 
und für ein kleines A, für welches die erste Formel gilt, von der ersten Ord- 
nung bleibt. Es findet in letzterer Beziehung nur für 9=- eine Ausnahme 
Statt, in welchem Falle die beiden äufsern Intervalle verschwinden, &'(A) 
überall den Ausdruck + cos? erhält, welcher für kleine Werthe vonA von der 
Ordnung Null ist, so dafs also am Äquator eine unendliche grofse Dichtig- 
keit Statt findet. 
Nach den für (A) gefundenen Ausdrücken zerfällt das im allgemeinen 
Ausdrucke für og enthaltene Integral in zwei andere, welche sich resp. von 0 


setzend, 7 durch eine Funktion f(x, y,z) der Gröfsen x, y,z darstellen kann, deren drei Diffe- 
rentialquotieuten erster Ordnung rationale, ganze oder gebrochene Funktionen von x,y,z sind, 
wobei wieder die Form von/(x,y,z) in verschiedenen Theilen der Fläche eine andere sein kann, 
was ein durch seinen grolsen Umfang bemerkenswerthes Resultat ist. 
