﻿Bestimmung des Tetraeders von gröfstem Volumen 

 Lei gegebenem Inhalt seiner vier Seitenflächen. 



H rn C. W. BORCHARDT. 



Gelesen in der Akademie der Wissenschaften am 29. Juni H 



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n Lagrange's berühmter Arbeit über die Pyramiden (') 

 findet sieh eine Behandlung der Aufgabe, dasjenige Tetraeder zu bestimmen, 

 ■welches bei gegebenem Inhalt seiner vier Seitenflächen das gröfste Volumen 

 besitzt. Diese Aufgabe wird daselbst darauf zurückgeführt, die positive Wurzel 

 einer Gleichung vierten Grades zu bestimmen, deren erstes und letztes Glied 

 entgegengesetzte Zeichen haben. Herr Painvin hat gezeigt ( 2 ), dafs in der 

 Reihe der fünf Coefficienten jener Gleichung vierten Grades nur ein Zei- 

 chenwechsel vorkommt, dafs jene Gleichung also nur eine positive Wurzel 

 hat. Durch mühsame Rechnungen weist derselbe nach, dafs dieser positiven 

 Wurzel ein wirkliches Tetraeder entspricht. 



Die gegebene Lösung scheint nicht als eine vollkommen befriedigende 

 angesehen werden zu können, theils wegen der unsymmetrischen Form der 

 Lagrange 'sehen Gleichung vierten Grades, theils weil die Eigenschaften 

 dieser Gleichung nicht hinlänglich ergründet sind. 



Eine von der Lagrange'schen verschiedene Behandlung des Problems 

 hat mich dazu geführt, dasselbe von einer Gleichung vierten Grades abhängig 

 zu machen, welche die gegebenen Gröfsen symmetrisch enthält. Diese Glei- 

 chung vierten Grades hat die Eigenschaft lauter reelle Wurzeln zu besitzen. 



(') Solutions analytiques de quelques problemes sur les pyramides triangulaires, Abhand- 

 lungen dieser Akademie vom Jahr 1773, pag. 149. 



( 2 ) Nouvelles Annales de mathematiques de Mr. Terquem, annee 1862, p. 267. 



Math. KL 1865. A 



