﻿2 Borchäkdt: Bestimmung des Tetraeders von gröfslem 



Der gröfsten ihrer vier Wurzeln entspricht zugleich ein wirkliches Tetraeder 

 und ein wirkliches Maximum seines Volumens, ein Resultat, zu dessen Be- 

 weis die bekannte zwischen den Inhalten der vier Seitenflächen eines Te- 

 traeders stattfindende Ungleichheit gebraucht wird. Den drei kleineren 

 Wurzeln entspricht weder ein wirklich existirendes Tetraeder, noch ein 

 wirkliches Maximum des Volumens. Die neue Gleichung vierten Grades 

 bietet durch ihre Form, ihre Eigenschaften und durch die algebraischen Aus- 

 drücke, die bei der Discussion ihrer Wurzeln auftreten, ein Interesse dar, 

 welches über ihre specielle Bedeutung für die Lösung des vorliegenden Pro- 

 blems hinausgeht. 



2. Als Unbekannte des Problems sehe ich die Quadrate der sechs 

 Kanten des Tetraeders an, durch deren ausschliefsliche Betrachtung alle tri- 

 gonometrischen Rechnungen vermieden werden. Ich bezeichne mit (1), (2), 

 (3), (4) die vier Eckpunkte des Tetraeders, mit (12) = (21), (13) = (31), 



'. (34) = (43) die Quadrate seiner sechs Kanten. Indem man die 



nach dieser Bezeichnungsweise verschwindenden Gröfsen( 11), (22), (33), (44) 

 vorläufig in Evidenz stehen läfst, erhält man in der Determinante 



(1.) R = 



den Ausdruck, von dessen Betrachtung und Transformation die Lösung der 

 vorliegenden Aufgabe abhängt. 



Es sei V das Quadrat des sechsfachen Volumens des Tetraeders (1234), 

 es seien a,, a i} a 3 , a 4 die Quadrate der doppelten Flächeninhalte der vier 

 Dreiecke ( l 234), (134), (124), (123), so ist bekanntlich 



(2.) v=lr 



(j.) a i ___ g -^, a 2 — — r 3(22) , a 3 — * 3 (33) » «*- . 3 (44) 



Dies vorausgesetzt bestehen bei positiven Werthen der sechs Kanten- 

 quadrate die Bedingungen für die wirkliche Existenz des Tetraeders darin, dafs 



