﻿Volumen bei gegebenem Inhalt seiner vier Seitenflächen. 3 



71 positiv sei, negativ dagegen eine (*) der fünfGröfsen ( 2 ) .-— r, ^—,, =-r-^i 



r Ö ° C V ' V / d(U)' 3(22)' 9(33)' 



g-^— r> T7^' w0 ur >ter g— ; die durch Fortlassung der letzten Horizontal- und 



Verticalreihe aus 71 abgeleitete Unterdeterrninante , also [da (11) = (2*2) = 

 (33) = (44) = ist] der Ausdruck 



(4 - } W) = (12)2 (3i)S + (13) ° (24)S + (l4) * (23)Z 



- 2 (12) (31) (13) ( 2 4) - 2 (.2) (34) (l4) (23) - 2 (.3) (24) (l4) (23) 



zu verstehen ist. Dafs dieser Ausdruck negatives Vorzeichen hat, ist gleich- 

 bedeutend mit dem bekannten Satz, wonach sich aus den drei Producten 

 gegenüberstehender Kanten J/(i2) (34), J/(i3) (3i), '/(l-i) (23) ein Dreieck bilden 

 läfst. 



3. Die gegebenen Gröfsen des Problems sind die Inhalte der vier Sei- 

 tenflächen des Tetraeders oder deren vierfache Quadrate «,, a 2 , « 3 , a . 

 Diese vier positiven Gröfsen sind unabhängig von einander, in dem Sinne, dafs 

 keine Gleichung zwischen ihnen besteht. Aber sie genügen einer Ungleichheits- 



(') Wenn man z. B. die Bedingungen R > 0, ^— — ,<: als nothwendig und ausreichend 



° d (11) 



für die wirkliche Existenz des Tetraeders beweisen will, so denke man sich um die Punkte (3), 

 (4), welche in einer gegebenen Ebene und in der Entfernung )/(34) von einander liegen 

 mögen, mit den Radien j/(23), VX24) Kreise beschrieben und suche die Bedingung, dafs 

 sich dieselben in einem reellen Punkt (2) schneiden, hierauf denke man sich um die Punkte 

 (2), (3), (4) mit den Radien Y(V2), ]/(13), ]/(14) Kugeln beschrieben und suche die Be- 

 dingung, dafs sich dieselben in einem reellen Punkt (1) schneiden. 



('"') Sobald von den genannten fünf Unterdeterminanten eine negativ ist, so sind es auch 

 die vier anderen. Berücksichtigt man nämlich die Formeln 



= 2 (34), d'* = 2 (23) (24) (34), 



3(11)8(22) V " 9(11)3(55) 



deren rechte Seiten zeigen, dafs die s'ämmtlichen Unterdeterminanten zweiter Ordnung 

 positiv sind, so geht aus der Identität 



3(iV)3(*ä) 



3(.V)3(AA) 3(«)3(*ft) 16 W). 



hervor, dafs bei positivem R die fünf Unterdeterminanten _ alle von gleichem Vorzeichen 



d(") 



sind. 



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