﻿4 Borchardt: Bestimmung des Tetraeders von gröf stein 



bedingung. Je drei der positiv genommenen Quadratwurzeln \a , , V'a„,l'a 3 ,l a, 

 addirt und um die vierte vermindert geben einen positiven Rest. Diese vier 

 Ungleichheiten, von denen drei sich von selbst verstehen, sind gleichbedeu- 

 tend mit ihrem Product, d. h. mit der einen Ungleichheit 



(5.) M — 8 j/a, a 2 a 3 a k < , 



in welcher 



(6.)31=a',+al-i-al-i-al— 2a, a 2 — 2a,a 3 — 2a,a li — :a„a 3 —2a 2 a i — 2a i a i . 



Die Ungleichheit (5.) ist entweder erfüllt, wenn TSI negativ ist, oder, wenn 



71/ positiv und kleiner als 8 Va t a 2 a 3 a, ist. In diesem letzteren Fall ist der 



Ausdruck 



(7.) JS = M 2 — 64 a, a 2 a 3 a, 



negativ. Es mufs also von den beiden Ausdrücken TV und 71/ 



mindestens einer negativ sein. TV ist das Product aus den acht Werthen 



der irrationalen Gröfse 



Va, -hVa 2 + Va, -j-J/cr,, 

 worin eine der Quadratwurzeln, z. B. Va l überall mit demselben Vorzeichen 

 genommen wird, d. h. TV ist die Norm jener irrationalen Gröfse. (') Führt 

 man für a t) a.,, a 3 , a k die neuen Gröfsen 



( b, = a f + a 2 + a 3 +a k 



b 2 = a t + a., — a B — a 4 



b 3 = a, — a 2 -\-a 3 — cr 4 



b k =a, — a 2 — a 3 + «„ 

 ein, so «halten die beiden Ausdrücke 71/ und TV, welche nach dem Obigen 

 nicht gleichzeitig positiv sein dürfen, die einfache Gestalt : 

 (9.) M=i-{-b°+b:+bl + b;}, 



(10.) N=blb\ + blbl + b 2 3 b:-2 b, b 2 b 3 b,. 



4. Nach diesen Auseinandersetzungen gehe ich zu dem Lagrange- 

 schen Problem selbst über. Dasselbe besteht darin, die sechs Unbekannten 



(') Die Generalisirung der Gleichung (7.) besteht darin, dafs sich die Norm der irratio- 

 nalen Gröfse \fa x -+■ Ya 2 -+- -+- )'a 2n immer auf die Form M" — a, a 2 . . . a 2n . M\ 



bringen läfst, wo M und M, ganze symmetrische Functionen von a,, a 2 , a 2 „ sind, 



ein Satz, der bisher noch nicht bemerkt worden zu sein scheint, obgleich sich derselbe aus 

 den Kronecker'schen Formeln (Journal de Mr. Liouville 18ö6, p. 385) herleiten läfst. 



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