﻿10 Borchardt: Bestimmung des Tetraeders von gröfstem 



(21)* W = 8 V s 



eingeführt wird, die Gleichungen (20.) in die folgenden 



(20.)* s 2 = s, = s^ = s 



über, welche vermöge (13.) das Resultat 



(22.) 2S = (12) + (34) = (13) + (24) = (14) + (23) 



liefern. Dies sind die von Lagrange gefundenen Gleichungen, welche für 



das Maximum, von welchem die Rede ist, erfüllt sein müssen. Sie drücken 



aus (' ), dafs sich die vier Höhen des Tetraeders in einem Punkt schneiden. 



Die Bestimmung der Gröfsen <r 2 , <r 3 , cr 4 , t.,, t 3 , t 4 ist in den Gleichungen 



(19.), (20.) enthalten. Nach Elimination von t„, t 3 , t 4 bleiben die Gleichungen 



(23.) o- 2 -Kr, + 7, ( =6,, <r 3 cr i ~^bl=T 2 cr li — ^6l=^. 2 G- i — ^bl=^u 



übrig, und nach Elimination von cr 2 , cr 3 , cr 4 zwischen diesen gelangt man zu 

 einer Endgleichung in u. 



7. Neben den Gleichungen (23.) müssen Ungleichheitsbedingungen er- 

 füllt sein, welche erstens ausdrücken, dafs, während das erste Differential von 

 TV verschwindet, das zweite Differential negativ werden soll, und welche 

 zweitens die wirkliche Existenz des Tetraeders zur Folge haben. Aus 



dW—{<T,a- k -^ b\) dr 2 + (<r s <r 4 - -"- b\) dr 3 + (<r t tr s — -f 6*) de 4 

 ergiebt eine nochmalige Differentiation : 



-^ d 2 TV = o" 2 d<r 3 der 4 -f- cr 3 dr 2 Jcr 4 + <r t du 2 d(T 5 

 oder, wenn vermöge der Relation dcr 2 + d<7 3 + c?V 4 = o hieraus d ir i elimi- 

 nirt wird, 



-^ J" W= — cr 3 dv 2 2 —<T 2 dcrl + (<x 4 — <t 2 — o- 3 ) dcr 2 Jcr,. 

 Damit d* TV negativ sei, müssen daher tr 2 , t 3 positiv sein und überdies 



(cr 4 — <r 2 — <r 3 ) 2 — /icr 2 cr 3 < o, d. h. 

 (24.) er* + rr; + er; — 2 cr 2 <r 3 - 2 cr 2 cr 4 - 2 p-, cr 4 < 0, 



eine Ungleichheit, deren linke Seite sich mit Hülfe der aus (13.), (17.), 

 (20.)*, (22.) hervorgehenden Relationen 



(') Vergl. Lhuilier de relatione mutua capacitatis et terminorum figurarum p. 151 und 

 Feuerbach Grundrifs zu analytischen Untersuchungen der dreieckigen Pyramide p. 38. 



