﻿Volumen bei gegebenem Inhalt seiner vier Seitenflächen. 1 1 



(24.)' <T,=S' -tl^VZ)^),^ ,=8"- -f\ = (M)(2h),T ,-S°- -f\=(ü)(2^ 



als identisch mit dem Ausdruck (4.), d. h. mit tttt, erweist. 



Die Bedingungen, unter welchen das Tetraeder ein wirklich existiren- 



des ist, sind (' ) die folgenden. Die sechs Gröfsen (12), (13) (s4) müssen 



positiv sein ( 2 ). Ferner müssen R = s V und a fortiori R~ = \6 TV positiv 

 sein, zwei Bedingungen, deren erstere sich zufolge (21.)*, (22.) durch die 

 Forderung ersetzen läfst, dafs u positiv sei. Endlich müssen 07-0.' T777)' 

 ;r — > = — :) =: — j negativ sein. Von diesen fünf Bedingungen ist die letzte 



3(33) 3(44) 3(55) » O Ö 



mit C~li.) identisch, die ersten vier dagegen verstehen sich von seihst, denn 

 die Gleichungen (19.) sind mit (3.) gleichbedeutend, und in diesen sind a,, 

 a 2 , a,, a 4 positive Constanten. 



Die neben den Gleichungen (23.) zu erfüllenden Ungleichheiten sind 

 daher aufser (24.) die folgenden : 

 (25.) u > o 



(26.) TV>o 



(27.) (12) > 0, (13) > 0, (l-i) > 0, (23) > ü, (24) > 0, (31) > 0. 



Die 9 Ungleichheiten (24.), (25.), (26.) (27.) sind nothwendig und 

 hinreichend, damit d 2 TV negativ und das Tetraeder ein wirklich existirendes 

 sei, sie sind zwar nicht unabhängig von einander, aber eine weitere Reduc- 

 tion derselben wird für die folgende Untersuchung nicht erfordert. 



8. Es kommt jetzt zunächst darauf an, zwischen den vier Gleichungen 

 (23.) <r s , er,, o" 4 zu eliminiren. Löst man die drei letzten dieser Gleichungen 

 nach (Tg, <r 3 , <r„ auf, so findet man 



< 28 -) " *« = VTIf V*^' 2 ^ = ^TTf v *w> 2 *■> - -^hf v ^> 



wo 



(29.) </> («) = (u + bi) (u + b;) (u + bl). 



Diese Werthe in die erste Gleichung (23.) eingesetzt geben 



(29.)* 2 («r. + t 3 + <rj = -7='= »*, 



und daher 



(30.) f(u) = [>' (u)] 2 - h b\ <p (bJ =0 



(') Vergl. Nr. 2. 



( 2 ) Hieraus folgt nach (24.)* von selbst, dafs Jj, x 3 , t 4 positiv sind. 



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