﻿12 Borchardt: Bestimmung des Tetraeders von gröf stein 



als Endgleichung der Elimination. Hat man aus (30.) u bestimmt, so er- 

 geben sich <r 2 , cr 3 , <r 4 aus (28.) auf eindeutige Weise, da nach (29.)* )/</> ( u ) 



= — - — also mit dem Zeichen von </>' (u) zu nehmen ist. 



9. Die Gleichung vierten Grades (30.), welche von den gegebenen 

 Constanten a { , a 2 , a 3 , a^ nur ihre dreiwerthigen Verbindungen b\, b\, b'\ 

 in symmetrischer Weise und ihre einwerthige Verbindung b t enthält, hat die 

 merkwürdige Eigenschaft, vier reelle Wurzeln zu besitzen. Diese 

 Eigenschaft hängt nur davon ab, dafs a ti a 2 , a,, a 4 positiv sind, und nicht 

 von der in INr. 3 erörterten Ungleichheitsbedingung. 



Für die Discussion der Gleichung (30.) nehme ich an, dafs a t , a ä , 

 a } , a 4 ihrer Gröfse nach geordnet seien, dafs man also 



a, >a 2 >a i >a i 

 habe, dann ist nach (8.) zugleich 



b, >b 2 >b, >b lt ; 



b t , b 2 , b, sind positiv, b^ kann positiv oder negativ sein, aber die Ungleich- 

 heit 6 3 > b^ gilt auch für die numerischen Werthe, man hat daher auch 



Für jede reelle Wurzel u der Gleichung (30.) wird nach der Form 

 dieser Gleichung </>(«) einem Quadrate gleich, also positiv. Aber nach (29.) 

 ist cp(u) negativ von?/ gleich — oc bis — b% positiv von — b'i bis — b\, negativ 

 von — b'l bis — b% positiv von — b\ bis 4- 00. Reelle Wurzeln von (30.) können 

 daher im ersten und dritten dieser Intervalle nicht liegen, sondernnur im zwei- 

 ten und vierten. Ich werde zeigen, dafs in jedem dieser letzteren zwei reelle 

 Wurzeln liegen, ein Paar zwischen — b\ und — b\ und ein Paar zwischen — b\ 

 und-4-cc. Da an den Grenzen dieser Intervalle, für u = — b], — b'\, — b\, 

 ■+■ 00 die Function flu) positiv ist, so kommt es nur darauf an, nachzuwei- 

 sen, dafs innerhalb eines jeden dieser beiden Intervalle^/" (?/) irgendwo negativ 

 wird. Zu diesem Nachweis bilde ich aus b t , b 2 ,b„ b t die drei neuen Gröfsen 



c 3 = b 2 b, - 6, (b 2 + b k ) 

 c t = b 2 63 -b, (b 2 +b 3 ) 



und leite aus (31.) die folgenden Gleichungen her : 



