﻿14 Borchardt: Bestimmung des Tetraeders von gröjstem 



Bezeichnet man mit — £>,, — p £ die beiden Wurzeln von <p' (u) = o, so ist 

 nach (29.) 



- K < - ?l < - b] < - ?2 < - bl 

 und 



<p'(u)=3u* + 2{bl+b] + bl)u-hblbl + blb 2 i -i-blbl=3(u-\-%,)(u + ^) 



<p"(u) = 6U + 2{bl+bl + bl), 



daher 



/'(«) =\2(u + ?1 ) (« + ?2 ) (3 u + 2 ili), 

 wo 



M=± (-b]+bl +b\ + b,) 

 der in Nr. 3 Gleichungen (6.) und (9.) definirte Ausdruck ist. Es folgen 

 hieraus die neuen Ungleichheiten (') 

 (33.) u, < — £, < u 2 < — ^ < u, < — -f- M < u . 



Nach (33.) ist <p'(u) positiv für u = u„ K,, « , negativ für u = « 2 , 

 daher ist ( 2 ) in (28.) und (29.)* ]>\p («) für w = w,, «,, « mit positivem, für 

 u = u 2 mit negativem Vorzeichen zu nehmen. 



10. Die Ungleichheiten (33.) reichen hin, nachzuweisen, dafs die aus 

 den Wurzeln «,, u 2 , u 5 hervorgehenden Lösungen dem vorgelegten Maxi- 

 mumsproblem nicht genügen. 



Vermöge der Gleichungen (23.) geht (24.) in 



b* — (u + b;) — (u + b\) — (u ■+■ bl) < 



(') Da /(«) von u = u, bis u = u negativ ist, so geht aus (33.) hervor, dafs 

 y( ^- iJ/) eine negative Gröfse ist. Dies Factum läfst sich in folgender Form aus- 

 sprechen : 



Leitet man aus vier positiven Gröfsen a,, a 2 , a 3 , « 4 drei neue Gröfsen 



A 2 = M •+- 12 (a, a., + a 3 aj, 

 ^ 3 = M ■+■ 12 (o, a 3 -+- « 2 « 4 ), 

 ^,, = ;J/+ 12 (a, o 4 -J- Oo a 3 ), 

 her, wo 

 M ■= a\ ■+• a% + a i + fl 4 — 2a i °2 — 2a i a 3 — 2a,a 4 — 2 a 2 a 3 — 2 a 2 a i — 2 a 3 a 4 , 



so sind A 2 , A$, A^ ebenfalls positiv, und aus — j — — > — — läfst sich ein Dreieck 



]/A. 2 yA 3 JM„ 



bilden. 



( 2 ) Vergl. Nr. 8. 



