﻿Volumen bei gegebenem Inhalt seiner vier Seitenflächen. 17 



und daher 



6 2 6 3 6 4 = VfW,) 

 9? = VX + VX + 6;6; - 2 6,6 2 6 3 K = <p' (2V.) - 2 b, V^nT). 

 Mit Hülfe der erhaltenen Werthe von 9JI und 5R wird ohne Schwierig- 

 keit die Ungleichheit u >N , bewiesen. Sie ist eine unmittelbare Folge der in 

 (33.) enthaltenen Ungleichheit u > — 4~ TM, vorausgesetzt, dafs — f- M > N, , 

 d. h. 



— -5" -L'J- !> — -tfl — 8 V a t a 2 «3 «4 



oder 



— -f M — S J/ a ,« 2 „ 3 a 4 = f 9fl < o, 



vorausgesetzt also, dafs 9Ji negativ sei. Gesetzt dagegen 9Ji sei positiv, so ist 

 9i negativ, d. h. 



6*63 + B|B't + B'B' — 2 6,6,636, < 0, 

 hieraus folgt 



XX +KK + VXY -46;6;6*6; <o 



/(2V.) = [ ( />'(2V,)] 2 - 4Ä= f (N t )< 0. 



Daraus, dafsy(iV\) negativ ist, folgt dann nach der bereits in der 

 vorigen Nummer angestellten Betrachtung, dafs TV, unterhalb u liegt. Die 

 Ungleichheit 



u >N, 

 ist also unter allen Umständen erfüllt. 



Es bleibt jetzt der zweite Theil des Hülfssatzes zu beweisen, wonach 

 N = — M -+- s Va, a., a,« 4 eine obere Grenze der Wurzel u ist. Zu- 

 nächst leuchtet es ein, dafs JV > u, ist ; denn nach (5.) ist N positiv, und 

 da in der Gleichung 



iV + 4 M = — 4- M + S Va t a 2 a 3 a< 



für positive Werthe von M die linke Seite, für negative Werthe von M die 

 rechte Seite aus zwei positiven Sumanden besteht, so ist unter allen Um- 

 ständen N + 4" M positiv, d. h. N > — -|" M, also nach (33.) a fortiori 

 N > «,. Es sind daher nur folgende beiden Fälle möglich. Entweder liegt 

 N in dem Intervall von u, bis u , dann isty(7V ) negativ, oder N liegt in 

 dem Intervall von u bis + 00, dann ist f(N ) positiv. Der Beweis, dafs 

 N > u sei, fällt also mit dem Beweise davon zusammen, dafs f(N ) po- 

 Math.KL 1865. C 



