﻿18 Bobchardt: Bestimmung des Tetraeders von gröfstcm 



sitiv sei. Um diesen letzteren zu führen , betrachte ich vier neue Gröfsen 

 a i} a 2 , a 3 , a,, deren Quadratwurzeln ich durch die Gleichungen 



2 Va, = Va, + Va 2 -f- Va 3 + Va, 



2 ]/a s = Va, + Va 2 — Va, — Va, 



2 Va 3 = Va t — Va 2 -+- Va, — Va, 



2 J/a 4 = Va, — Va 2 — Va, + Va, 



definire. Die Norm der irrationalen Gröfse Va, + Va 2 ■+- Va 3 ■+• Va, bezeichne 

 ich mit N, die acht irrationalen Factoren derselben werden resp. = 2 Va, , 2 \'a 2 , 

 2 Va 3 , 2 Va,, 2 Va,, 2 Vd 2 , 2 Vd 3 2 Va,, also sämmtlich positiv. Der positive 

 Werth von N bestimmt sich also einerseits = 2 8 Va, a 2 a 3 a, VöTöTäTäl- An- 

 drerseits erhält man nach Analogie der Gleichungen (8.), (10.) unter Ein- 

 führung der Gröfsen 



ß, = a, + a 2 •+• a 3 + a, = a, •+- a 2 -+- a, -J- a, = b, 

 ß 2 = a, + a 2 — a 3 — a, = 2 (j/ a , a2 -1- Ka 3 a 4 ) 

 /3 3 = a, — a 2 + a 3 — a 4 := 2 (j/ a , a 3 + Va 2 a,) 

 ß, = a, — a 2 — a 3 + a, = 2 (Va,«, + V^Tö^) 

 für N den Ausdruck 



N = ß\ß% + |ß*/3* + ß\ß\ - 2 ß,ß 2 ß 3 ß,. 

 Da sowohl N als die Gröfsen ß t , ß„, ß 3 , ß, sämmtlich positiv 

 sind, so ist 



(ß;ßl + ßlß\ + ß 2 3 ß\) 2 - k b\ß\ß\ß\ > 0. 

 Aber man hat die Gleichungen 

 JY +b 2 2 = (a 1 +a 2 -a 3 -a,y—M+8Va l a 2a3 a,=i(y a T a ~ 2 +Va7^y=ßt 



N + b'l=(a i — a 2 + a 3 —a,) 2 ~M+8Va t a 2 a 3a , = b(VaTa~ 3 +Va7a~,) 2 =ßl 



N +b 2 , = (a l -a 2 -a 3 + a,) 2 -M+sVa 1 a 2a3 a,=HVa~a-< l -i-V a ~7a~ 3 y==ß 2 , 



ß 2 ßi+ß 2 2 ß 2 ,+ßiß:=<f>'(N ) 



ß 2 ß 3 ß, =Vh»o) 



|M=f'(# B )- 2 KVf^), 



und hierdurch geht die obige Ungleichheit in die folgende 



über, woraus, wie gezeigt worden, 



N >u 



