﻿20 Borchardt : Bestimmung des Tetraeders von größtem Volumen etc. 



Summe der Kantenquadrate (12) + (31), (i3) + (24), (i4) -f- (23), negativ sein. 

 Der aus V hergeleitete Werth von s 



<t = — = "° 



&r a\/pt 



ist positiv, die Werthe (28.) der Gröfsen o\, er,, cr 4 sind für u= u ebenfalls 

 positiv. Nach den Gleichungen (22.), (24.)* läfst sich dies so aussprechen, 

 dafs jedes der Gröfsenpaare (12) und (s4), (13) und (24), (i4) und (23) eine po- 

 sitive Summe und ein positives Product besitzt. Hieraus folgt, dafs die Gröfsen 

 selbst positiv sind, sobald sie reell sind, d. h. sobald die Differenzen 



(12) - (34) = 2t 2 , (13) - (24) = 2*3, (l4) - (23) = 2 t, 



reelle Werthe bekommen. Dafs aber t 2 , t 3 , t^ reell sind, ergiebt sich aus den 

 drei letzten Gleichungen (21.), oder, was dasselbe ist, aus den Gleichungen 



s Vt. z = b 5 b, - —±rs V<k«o)> 



rt 3 = b 2 b,- ^|i^("o), 



Vt, = b 2 b 3 - -^-r; V^K). 



Hiermit ist bewiesen, dafs die 6 Gröfsen (12), (34), (13), (24), (i4), 

 (23) positiv sind. Für u = u sind also alle Ungleichheiten (24.), (25.), 

 (26.), (27.) erfüllt, und es findet daher für die der gröfsten Wurzel 

 u = u der Gleichung (30.) entsprechende Lösung (und nur für 

 diese) sowohl Maximum des Tetraeder-Volumens als wirkliche 

 Existenz des Tetraeders statt. 



Die Lagrange'sche Aufgabe des Maximums, die den Gegenstand der 

 vorliegenden Abhandlung bildet, kann auf eine beliebige Anzahl von Dimen- 

 sionen ausgedehnt werden. Aber für diese Ausdehnung versagt die hier ein- 

 geschlagene Methode der Lösung , welche durch das Vorhandensein drei- 

 werthiger Functionen von vier Gröfsen bedingt ist. Auf welchem Wege die 

 Lösung des verallgemeinerten Problems zu erreichen ist, werde ich in einer 

 anderen Abhandlung auseinandersetzen. 



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