Über eine Eigenschaft gewisser Potenzreihen mit 
unendlich vielen verschwindenden Koeffizienten. 
Von Dr. ALEXANDER ÜSTROWSKI 
in Hamburg. 
(Vorgelegt von Hrn. Scnummr am 2. Juni 1921 [s. oben S. 412].) 
Br den bekannten Hapamaroschen Lückensäatz, nach welchem eine 
Potenzreilie 
> a," - m>(I+S)n—:, SE=10 
mit endlichem von oO verschiedenem Konvergenzradius über ihren 
Konvergenzkreis hinaus nicht fortsetzbar ist,- gibt es jetzt mehrere 
verschiedene Beweisanordnungen, die zugleich auch andere schärfere 
Sätze ergeben'. Keiner von diesen Beweisen scheint mir aber eine 
eigentliche Erklärung für das scheinbar paradoxale am Hanauarvschen 
Satz zu geben, daß eine gerade infolge ihrer Lücken im Innern des 
Konvergenzkreises besonders gut konvergente Potenzreihe am Rande 
des Konvergenzgebietes besonders schwere Singularitäten erhält. 
Man kann :nun versuchen, dieses Paradoxon damit zu erklären, 
daß gerade eine besonders gut konvergente Potenzreihe, wäre sie auch 
außerhalb des Konvergenzkreises regulär, infolge ihrer guten Konvergenz 
in dessen Innern auch noch außerhalb des Konvergenzkreises konver- 
gieren würde. Diese Auffassung, wie merkwürdig sie auch zunächst 
erscheint, wird durch den im folgenden darzulegenden Satz und seinen 
Beweis wesentlich gestützt. 
Tritt in einer Potenzreile 
> a;u 
se » 
etwa zwischen den Exponenten z, und n;,, eine Lücke auf, so be- 
N; 
zeichnen wir den Quotienten —*" als den Quotienten dieser Lücke. 
R 
Im Havanaroschen Lückensatz befindet sich zwischen je zwei Exponenten 
eine Lücke, deren Quotient größer als T+S ist, wo > eine konstante 
' Vgl. die Literaturangaben im Enzyklopädieartikel von L. Bırgerzacn, Neuere 
Untersuchungen über Funktionen von komplexen Variablen, Bd. 113, Heft 5, p. 461—462. 
