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558 Sitzung der phys.-math. Klasse vom 7. Juli 1921. — Mitt. vom 2. Juni 
positive Zahl ist. Wir betrachten nun eine Potenzreihe mit dem Kon- 
vergenzradius I, in der unendlich viele Lücken mit einem Quotienten 
> 1+% auftreten, aber nicht notwendig zwischen je zwei aufeinander 
folgenden Gliedern. Eine solche Potenzreihe kann sehr wohl für hin- 
reichend kleine $ über den Einheitskreis hinaus fortsetzbar sein, wie 
z. B. aus den Untersuchungen von E. Linperör' über die analytische 
Fortsetzung von Potenzreihen von der Form 
(0)-FP(1)e +9 (2) +. Holm)" +: -- 
folgt, in denen man für (x) eine ganze transzendente Funktion mit 
geeignet gewählten Nullstellen setzen kann. 
Es sei also f(z) eine Tavıorsche Reihe mit dem Konvergenzradius I 
und mit unendlich vielen Lücken vom Quotienten >ı+°, $>o; 
sie läßt sich daher in der Form schreiben 
jo=Dar= date, 
I k=o 
wo A, nicht negative ganze Zahlen (2,4, >, sind und 
'=i.yı 
S) 5 Ar; 2 Q 1 — 
N — >= 0,8%, Na ZUERST (2 
i=i. +1 
®r 
IN — > a; 
ist. Die Folge der Partialsummen der Reihe >.A,(a) reduziert sich 
also auf eine besondere Absehnittsfolge der Reihe (2) selbst, nämlich 
auf diejenige Folge der Abschnitte, bei der jeder Abschnitt unmittel- 
bar vor einer Lücke endet. Wir behaupten nun: ist x, ein regulärer 
Punkt des Konvergenzkreises, so läßt sich um x, ein kleiner Kreis 
oo 
beschreiben, in dem die Reihe DA, (x) noch gleichmäßig konvergiert 
o 
und daher die analytische Fortsetzung von /(2) liefert. Bricht man 
also die Reihe f(2) vor jeder Lücke vom Quotienten >ı+S 
ab, so konvergiert die entstehende Folge von Abschnitten 
von f(z) über jeden regulären Punkt des Konvergenzkreises 
hinaus”. 
' E. Lınpetör, Le calceul des residus, Paris, 1905. 
® Daß spezielle Abschnittsfolgen von Potenzreihen mit von © verschiedenem 
Konvergenzradius über den Konvergenzkreis hinaus konvergieren können, hat vor 
einigen Jahren R. Jenwsch entdeckt (Acta Math. Bd. 41 (1918)), der mit Hilfe der 
I— — 
Funktionen de=-"@+1) und 7 er zwei sehr weitreichende Beispiele für diese Er- 
ı-+te 
scheinung konstruiert. 
