A. Ösrrowskı: Potenzreihen mit vielen verschwindenden Koefffzienten 559 
Aus diesem Satz folgt nun sofort der Hanamarnsche Lückensatz. 
Denn unter der Havamaroschen Lückenbedingung reduziert sich die 
Reihe 3A: (x) auf die Reihe sämtlicher Abschnitte der Potenzreihe 
Fe).- Die Potenzreihe f(z) würde also als solche über jeden regulären 
Punkt des Konvergenzkreises konvergieren. Da aber nach den Ageıschen 
Sätzen eine Potenzreihe in jedem Punkt außerhalb des Konvergenz- 
kreises divergiert, muß jeder Punkt des Konvergenzkreises singulär 
sein. — Der Hapanmarnsche Lückensatz wäre daher eigentlich so zu 
formulieren: Ist eine analytische Funktion in einer Umgebung des 
Nullpunktes durch eine Potenzreihe dargestellt, die der Hanamarnschen 
Lückenbedingung genügt, so konvergiert diese Potenzreihe überall, wo 
die Funktion regulär ist. 
Der Beweis unseres Satzes läßt sich nicht direkt mit Hilfe des 
Stierrjesschen Satzes führen, nach dem jede im Innern eines Kreises 
gleichmäßig konvergente Folge analytischer Funktionen auch noch in 
einem größeren den Kreis enthaltenden Gebiet konvergiert, falls die 
Funktionen der Folge dort analytisch und gleichmäßig beschränkt 
bleiben. Wir werden es vielmehr mit einer Funktionenfolge zu tun 
haben, die in einem gewissen Kreis nicht allzu stark anwächst, wobei 
wir aber zugleich wissen werden, daß die Folge in einem kleinen Kreis 
sehr gut (und gleichmäßig) konvergiert und die Grenzfunktion auch, 
nach im größeren Kreise regulär ist. Auch in diesem Falle läßt sich 
die Konvergenz der Funktionfolge in einem Bereiche erschließen, der 
den inneren Kreis enthält, — und zwar mit Hilfe des sogenannten 
Hapanmaro-Fager-Brunentuauschen Dreikreisesatzes!. Wir sprechen 
diesen Dreikreisesatz wie folgt aus: 
Bs’seno<r <r,<r. Es sei'F(e) für |2—: 
=; 
Sr, regulär, 
und es werden durch M,, M,, M, die Maxima von |F(e)| auf 
den Kreisen um 2, mit den Radien r,,r,,r, bezeichnet. Dann 
gilt die Relation 
N; > 2 n, Ui, 
lg —1gM, <Ig—1gM,+1g—1gM,. 
1 2 Te 
Diese Relation gestattet nämlich, aus der Tatsache, daß 1g M, sehr 
stark gegen —0o konvergiert und lg M, nicht zu schnell gegen + 
anwächst, für gewisse Werte von v,, r,, r, auf limlgM, = — zu 
schließen. 
3 
' Hapamaro, Bull. Soc. Math. 24 (1896), ohne Beweis. Den Hapanmaroschen 
Beweis haben zuerst Bonr und Lanpau veröffentlicht, Math. Ann. 74 (1913), p- 6. 
Unabhängig von Hapamarn fanden den Satz mit anderen Beweisen BrunenrHar, 
Jahresber. D. M. V.16 (1907) und Faser, Math. Ann. 63 (1907). 
