A. Osrrowskı: Potenzreihen mit vielen verschwindenden Koeffizienten 563 
. Dabei haben wir von den Relationen Gebrauch gemacht: 
lim AWe=m—o und a>e. 
mx 
„Für M,” aber erhalten wir aus der Tatsache, daß für «+®Bi in 
K, a2 — 0 ist: 
. in in—ı 
M.<c,+ Max _ |Da,e’“*®9|<c,+ Max IA 
ı ı 
e+PiinK, «+BiinK, 
fn—1 Ak+ı 
—e Mr) + A, eine) | <c+ a I Ara + Pi) [ BEE 
«@«+ßtın 2 
I 
i,—1 ’k+ı 
+A,e ne) |Sc+ ns s, a er en [ er, eine in“ 
ı Ar 
", 
<G+6 (eraa+e, in aan 
A, 
Mit diesen Abschätzungen für M, und M,” ist aber auch unser 
Satz für allgemeine Dirıchtersche Reihen bewiesen. — Es sei endlich 
bemerkt, daß, wie man zeigen kann, für $ keine noch so langsam 
gegen oO konvergierende Funktion von A,, gesetzt werden kann, und 
zwar weder im obigen allgemeinen Satz über Dirıcnzersche Reihen 
noch im Spezialfall der Tavrorschen Reihen. 
Der oben benutzte Gedanke, mit Hilfe des Dreikreisesatzes den 
Konvergenzbereich von Funktionenfolgen zu erweitern, ist offenbar 
von allgemeinerer Bedeutung. Bei seiner Anwendung ist es jedoch unter 
Umständen vorteilhaft, die zum Beweise des Dreikreisesatzes, dienenden 
Schlüsse einzeln zu benutzen und dabei namentlich die Benutzung des 
Satzes, daß das Maximum des absoluten Betrages einer analytischen 
Funktion auf dem Rande erreicht wird, durch die Benutzung des Satzes 
von STIELTIES zu ersetzen. Um dies an einem Beispiel zu erläutern, 
beweisen wir die folgende Verallgemeinerung eines Satzes von Farou'. 
‚ Es habe die Potenzreilhe 
fa) = 4,+a,20 +4, +::-: 
mit beschränkten Koeffizienten (|a,|<A) und mit dem Kon- 
vergenzradius I die Gestalt: 
P(&) + Q, (©) + P; (2) + Q; (x) + P, (2) + Q,(&) - - 
N MI; 
y ee: 
Pa)— Da, On — > a0, Mı<m;<m,, 
Men +! n;,+ 1 
Farov, Acta Math. 30 (1906), p. 335: 
Sitzungsberichte 1921. 53 
