836 Sitzung der phys.-math. Klasse vom 1. Dez. 1921. — Mitt. vom 17. Nov. 
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Die Produktausdrücke der #-Funktionen. 
Von F. Scuorrky. 
(Vorgetragen am 17. November 1921 [s. oben S. 830].) 
Sur, N 
Mi einigen Worten gehe ich auf die Eigenschaften der Grernschen 
Funktionen ebener Gebiete ein. Ich ziehe in der Ebene eine geschlossene 
Linie, ohne jede Singularitäten, z. B. einen Kreis oder eine Ellipse. 
Von dem Bereich, der durch sie umschlossen wird, nehme ich einzelne 
voneinander getrennte Gebiete fort; die sie begrenzenden Linien, die 
ich ebenfalls als völlig regulär annehme, seien: 8,0, M usw. Ich er- 
halte so: die Scheibe mit mehreren Löchern (Pıcarn). Für dieses 
Gebiet, mit einer äußeren und < inneren Randlinien, existieren GrEEnsche 
Funktionen. Sie sind erstens: harmonische, sie genügen der bekannten 
Differentialgleichung A (9) = 0. Sie sind zweitens konstant längs jeder 
der +1 Randlinien; auf den verschiedenen Rändern können sie ver- 
schiedene konstante Werte haben. Drittens sind sie eindeutig im Innern, 
regulär auf der Grenze und verhalten sich im Innern wie Potentiale 
oder deren Ableitungen. Wir betrachten sie nicht als Funktionen der 
Koordinaten £, x, sondern als Funktionen des variablen Punktes P, dessen 
Koordinaten £, sind. 
Es ‚gibt eine Reihe von Funktionen dieser Art, die durch ihre 
Eigenschaften völlig bestimmt sind. 
Zunächst, wenn wir einen festen Punkt Q inmitten des Gebiets 
annehmen, die Grerxsche Funktion des Punktes Q: G (P,Q). Sie wird 
nur singulär im Punkte Q, wie das Potential log(PQ) und auf der um- 
schließenden Randlinie gleich o. Die Differenz G (P, Q—log(PQ)= U 
ist also im ganzen Gebiete regulär. Wir fordern von dieser Differenz, 
rn Tr NE N LIEB 
daß die Integrale | OU (TUT ist eine Abkürzung für — dy— ——d£). 
0£ 0 
erstreckt über irgendwelche geschlossene Linien innerhalb des Gebiets, 
sämtlich o sind. Durch diese Normierung ist @ (P, Q) bestimmt. 
Wir setzen jetzt voraus, daß Q nicht im betrachteten Gebiete, 
sondern in einem der kleinen ausgeschlossenen Gebiete liegt — etwa 
in dem, das von der Linie 8 umgeben wird. 
