Scnorrkv: Die Produktausdrücke der Z-Funktionen 830 
2—= y einführen: = #(«), y = »(y)., Durch die neuen Koordinaten 
w, y' ist P ebenfalls bestimmt. Da &(2) drei. Parameter enthält, so 
läßt sich, wenn mehrere feste Punkte gegeben sind, das Koordinaten- 
system so wälılen, daß einer davon vorgeschriebene Koordinaten erhält, 
z.B. 2 =x,y=0, und daß ein zweiter auf einer gegebenen Linie 
liegt, z.B. auf der Linie ay= ı. 
‚Jede Gleichung zwischen ® und y' stellt eine Linie dar, speziell 
einen Kreis, wenn sie in bezug auf die eine wie die andere Variable 
linear ist. 
Die Linie @—y= 0 behält ihre Gleichung, wenn man das Ko- 
ordinatensystem in der angegebenen Weise transformiert; denn die 
Bedingung (x) = p(y) ist gleichbedeutend mit #= y. Wir nennen 
diese Linie, auf der alle #-Funktionen den konstanten Wert ı haben, 
die Achse. 
Jeder Kreis geht wieder in einen Kreis über. 
Ferner: Wenn zwei Punkte P und Q gegeben sind, mit den 
Koordinaten @,y und £,», so ist auch der Wert des Doppelverhält- 
nisses 
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von der Wahl des Koordinatensystems unabhängig. Es möge erlaubt 
sein, da eigentliche Entfernungen hier nicht in Frage kommen, diese 
wichtige Größe (PQ) als die »analytische Entfernung« der beiden 
Punkte P,@ zu bezeichnen. Nimmt man @ als fest an, so ist (PQ) 
die einfachste aller #-Funktionen. 
Man kann die. Gleichungen «’= &(a), y' = #(y), ohne das Ko- 
ordinatensystem zu ändern, auch so auffassen, daß x, y die Koordi- 
naten eines neuen Punktes P’ sind. Wir nennen dies, vorausgesetzt, 
daß $(z) eine lineare Funktion bedeutet, eine Translation von P. Wird 
eine solche Translation auf mehrere Punkte angewendet, so bleiben 
die analytischen Entfernungen der einzelnen ungeändert. 
Wir denken uns mehrere lineare Funktionen von 2 gegeben, die 
wir durch Indizes unterscheiden: 2.,2;,2, usw. Diese Indizes be- 
zeichnen dann Substitutionen: «, ist dieselbe Funktion von x, wie 
2. von 2. Und auch Translationen: P_ist der Punkt. dessen Koordi- 
& 
naten .,,%. sind. Die Indizes aber können wir zusammensetzen; 2,; 
ist dieselbe Funktion von 2, wie 2, von 2, z,, oder 2, dieselbe von 
Be wien 2 von 2. ; 
Ein Kreis hat mit der Achse, —y= Oo, im allgemeinen zwei 
getrennte Schnittpunkte. Wenn sie zusammenfallen, nennen wir ihn 
einen Berührungskreis; die Gleichung eines solehen kann auf die 
