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Scenorrkv: Die Produktausdrücke der B-Funktionen s4l 
Wir bekommen die ganze Gruppe der Substitutionen, die durch x allein 
erzeugt wird, indem wir p durch p” ersetzen und h alle ganze Zahlen 
durchlaufen lassen: 
y= ı%, ist dann die Lösung der Gleichung (PA) = p'. Wir können 
diese Substitution 2 als #” bezeichnen. Nur für Aa=o, wo «, mit 
x identisch ist, hat man die identische Substitution, die allen Gruppen 
gemeinsam ist, und für diese führen wir das Zeichen o ein, so daß 
x, nichts anderes als x selbst bedeutet. 
o 
h 
Die Indizes x”, einschließlich #° = 0, bezeichnen wir als die ein- 
_ fache Gruppe (2). Wenn wir aber von den z-Substitutionen sprechen. 
"oder kurz: den x. so schließen wir "= 0, und damit die identische 
Substitution aus. 
Ebenso definieren wir, den übrigen Kreisen entsprechend, die 
Gruppen (A), (u) usw. 
Die ganze aus den > primitiven Substitutionen x, A, a » » entsprin- 
gende Gruppe wird nun erhalten, indem wir setzen: 
n 7 
= Oral w— 29 yhusk: 
wo 4,8, y--- Indizes bedeuten, deren jeder einer der > einfachen Gruppen 
angehört, und wo zugleich nicht zwei unmittelbar aufeinanderfolgende 
Elemente, wie z und &, oder ® und y, derselben Gruppe entnommen 
sind. Denn sonst würden wir sie vereinigen. Ist das erste Element 
ein z, so sagen wir: m fängt mit einem x an: m endigt mit einem &, 
wenn das letzte Element ein x ist. ne 
Zu jeder Substitution m gehört eine inverse m. Wenn aber «', €, y 
r 
die zu, 8, y inversen sind, so sind die zu 43. ®y usw. inversen Sub- 
stitutionen nicht «%, «@y’ usw., sondern: B'z', y'%a’ usw.; man hat, 
bei der gegebenen Darstellung des m, nicht nur jedes Element durch 
das inverse zu ersetzen, sondern auch die Reihenfolge aller umzu- 
kehren. Behält man die Reihenfolge bei, so erhält man nicht den 
inversen, sondern den konjugierten Index. Der inverse von z® ist 
also: &z', der konjugierte: «'%. Nur dann, wenn m einer der > ein- 
fachen Gruppen angehört, ist der inverse zugleich der konjugierte. 
Diejenigen Indizes m, die nicht mit einem der x anfangen, be- 
zeichnen wir mit m,: mit m,, diejenigen, die nicht mit einem x an- 
fangen und nicht mit einem ? aufhören, mit m,, aber die von O ver- 
schiedenen, die nicht mit einem z anfangen und auch nicht mit einem 
x auflören. Der Index © gehört also zu den m,, und ebenso zu den 
M,,, aber nicht zu (den m,,. 
Entsprechend ist die Bedeutung von m,, m,, m 
x 
m,, usf. 
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