ERST IWIIRTE EHE 
842 Sitzung der phys.-math. Klasse vom 1. Dez. 1921. — Mitt. vom 17. Nov. 
Wir nehmen zwei Punkte P, & mit den Koordinaten w, y und 
A, 9. Jeder Substitution m entspricht eine Translation m. Mit P,, 
(J„ bezeichnen wir die Punkte, die aus ?P und Q durch die Trans- 
lationen m hervorgehen; ihre Koordinaten sind x, y„ und &„; 9... Ver- 
stehen wir unter n irgendein bestimmtes m, so geht, durch die Trans- 
aber in P,,„ über: es ist daher 
m nm 
(Dr Q) — (% m Q,) hi 
lation rn, Q in Da P 
\ * 
-Ist speziell » der zu m inverse Index m’, so ist P,„=P: also: 
$ &) nm 
ber Q) = (2 Am ) Eu 
Wir stellen jetzt das Produkt auf: 
EP, Q)=11#.® 
m 
erstreckt über alle Indizes m» der Gruppe. Daß es konvergiert, wenig- 
stens wenn man die pRadien klein genug annimmt, ist bekannt. Es ist, in 
bezug auf P, eine #-Funktion, und ebenso in bezug auf Q.. Indem wir Q 
festhalten, nennen wir # (P, Q): die E-Funktion des Punktes Q. Die 
einzelnen Faktoren sind linear in bezug auf jede der vier Größen «, y, &, 
und rational in den 27 Koordinaten der x Kreismittelpunkte sowie den 
o Radien. Das sind 3p Parameter. Aber wir können das Koordinaten- 
system so wählen, daß drei von den 2? Koordinaten der Mittelpunkte 
‚vorgeschriebene Werte erhalten; wir betrachten deshalb # (P, Q) als 
Funktion von vier Variablen und 3£—3 Parametern. 
Neben # (P, Q) stellen wir auch die Teilprodukte auf, die sich 
ergeben, wenn wir die Multiplikation nicht über alle m erstrecken, 
sondern nur über die m,, oder die m,,, die m‘, usw.; wir bezeichnen 
diese entsprechend als Z,(P, Q), Z,. (Ps: Q), Eu (P, Q). 
Unter e,(P, Q) aber verstehen wir das Teilprodukt [] (?. @) 
erstreckt über alle Indizes z der Gruppe (x), das eine bekannte ellip- 
tische Funktion ist; man sieht leicht, daß # (P, Q) in e, (P, Q) über- 
geht, wenn man alle Radien mit Ausnahme von p gleich 0 setzt; denn 
dann bekommen alle Faktoren von E (P, Q), die nicht in e,(P, Q) 
enthalten sind, den Wert ı. 
Da (P,Q) = (Q,„,P) ist, m’ aber ebenso wie m die ganze Gruppe 
durchläuft, so ist Z(P,Q) = E(Q, P). Es besteht der Reziprozilätssatz: 
Der Wert, den die #-Funktion des Punktes Q in einemandern Punkt @, 
hat, ist gleich dem, den die E-Funktion des Punktes Q, in Q besitzt. 
Es sei ferner n wieder irgendein Index der Gruppe (). Indem 
man P durch P, ersetzt, also x durch &,,y durch y,,; geht P,„ in 
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P,„ über. Da aber mn, ebenso wie m, die ganze Gruppe durchläuft, 
so ist E(P,,Q)=E(P,Q). 
