Senorrkv: Die Produktausdrücke der E-Funktionen 843 
Es ist also E(P, Q) in bezug auf P, und ebenso in bezug auf 
(, invariant gegenüber den Translationen der Gruppe. 
e,(P, Q) ist ebenfalls symmetrisch. Ebenso E,,(P, Q); denn die 
inversen Indizes der m,, sind wieder die m,,. Dagegen sind die in- 
versen Indizes der m,, die m,,, und es ist deshalb 
E,(P, Q) = B..(Q, P% 
Wir beschränken jetzt P auf den Kreis X, indem wir y= .«, 
annehmen. (J) betrachten wir als festen Punkt. Es gilt zunächst 
der Satz: 
Auf dem Kreise & ist e,(P, Q) konstant, gleich der analytischen 
Entfernung des Punktes Q vom Mittelpunkte X. 
Beim Beweise nehmen wir, der Einfachheit wegen, an, daß der 
Punkt X die Koordinaten hat: = ®,y=0. Dann ist 
BR (re 
«Ü 
INI> 
Da die Gleichung (PA) = p des Kreises $ durch y = .«, erfüllt wird, 
so ist x, — px; allgemeiner, für = x"::@, —=p'z,y,= p"y.: Da 
aber auf dem Kreise y=pr ist, so haben wir, wenn P auf dem 
Kreise & liegt: 
h +1» 
EN RE 
=pı, =» 
Der Ausdruck (?P,Q) nimmt dadurch die Form an: 
rh+ı 
NR. 
rer 
AZ a 
p L—HY 
ist. Es ist demnach auf. dem Kreise R: 
+8 N 
ELEN Ge A (® 2 De b 
=— SIE D 
und da 
so ergibt sich, falls P auf der Linie X liegt: 
ep, RN — =ı(OR) 
Ni 
Da die Funktion K(P,Q) in BEN auf P,@Q symmetrisch ist. 
so kann sie auch definiert werden als das Produkt der Faktoren (PQ,). 
Jeder Index m der ganzen Gruppe läßt sich in der Form darstellen: 
m= an, wo x der Gruppe (x) angehört, n aber nicht mit einem x 
