Scnovwrxy: Die Produktausdrücke der E-Funktionen 847 
lichen Parameter geht daher um a — 2 zurück, von 3? — 3 auf 2p—1.» 
Es ist: der hyperelliptische Fall. 
Lösen wir die Gleichung des Hauptkreises auf. Da sie symmetrisch 
ist, so ist y dieselbe Funktion von x, wie x von y. Wir schreiben: 
y=x,®2=%y,. Wir führen damit eine neue Substitution v ein, die 
mit ihrer inversen identisch ist, so daß vv=0 ist. Zugleich eine Trans- 
lation v; P, ist der Punkt, dessen Koordinaten x,,y, sind. Wir nennen 
ihn den zu P konjugierten; der konjugierte zu P, ist wieder P. Liegt 
P auf dem Hauptkreise, so ist @«,—=y. y,=x, P, also der Gegenpunkt 
von P. Daraus folgt weiter, daß (PQ) und (PQ,) reziproke Werte 
haben, wenn der Punkt Q auf dem Hauptkreise liegt. 
Die Substitution v gehört nicht zur Gruppe der »n, steht aber in 
einer engen Beziehung zu ihr, die sich ausspricht in der Formel: 
my=vm; dabei bedeutet m den zu m konjugierten Index. — Wir 
beweisen dies zuerst für den Fall, daß m ein Index x ist, der zur ein- 
fachen Gruppe (x) gehört; der zu z konjugierte Index a ist dann zu- 
gleich der zu z inverse. . 
y= x, genügt einer Gleichung (PX) = p’. Ersetzen wir hier 
Frdurch".P., also z dürch°s,,: y' dureh”y,,. so; geht‘ x,'in"z,, "über. 
Die Gleichung (P,K) = p” wird demnach erfüllt, wenn man y,=«,, 
setzt, oder, was dasselbe ist, y=x,.,. (P,K) ist aber mit (PX,) 
identisch, und dies ist, da A auf dem Hauptkreise liegt, der reziproke 
Wert von (PK); folglich wird die Gleichung (PA) = p’ erfüllt für 
y=x%,.. Es ist daher var die zu & inverse Substitution x’; aus 
vav=a folgt aber: av=v«a. 
Nehmen wir jetzt eine Substitution 9, die der Gruppe (A) an- 
gehört. Dann ist ebenso: ßv—=vfß), folglich «Bv=.avP', und da 
av=va ist, so ist ßv= va. Der Schluß läßt sich fortsetzen. 
Man sieht, daß, auch wenn m ein beliebig zusammengesetzter Index 
ist, stets die Formel besteht: my = vm. 
Daraus folgt: 
Alle eingeführten Funktionen von Pund Q: E, E,, E,., E 
auch #,, kehren in sich selbst zurück, wenn man P und @ der Trans- 
lation v unterwirft; ist F(P, Q) irgendeine davon, so ist 
EPSON SHEIP.QN 
ar» 
Denn es sei 
FB Q)=]](P,®. 
wo das » entweder alle m durchläuft, oder nur die m,, die m,,, die 
M,,, oder auch die Gruppe (2). Dann hat man: 
F(P,Q)=T]](P.. Q.: 
Sitzungsberichte 1921. 76 
