Scenorerv: Die Produktausdrücke der #&-Funktionen 549 
üsw., wo y= w,, oder «,,.w, usw. ist. Denn liegt P auf dem Haupt- 
kreise, so ist P,,der Gegenpunkt von P und daher E(P,,Q) der re- 
ziproke Wert von £(P,Q). Liegt aber P auf dem Kreise #, so hat 
EiP,Q) den konstanten Wert E(Q, 8), E(P,,Q) = E(P,Q,) den Wert 
E(Q,,R), der der reziproke von K(Q,R) ist. 
Da v(P,Q) eine #-Funktion von P ist, so läßt sie sich darstellen 
in der Form 
vir,q) =) 
(PO), = EN 
und da sie den Wert ı bekommt für y = ,, ebenso für a =a, 0 =%, 
usw., so genügt f(x) den Gleichungen 
2) = FR)... HE) fd) usw. 
f(x) ist eine Klassenfunktion, invariant gegenüber den > primitiven Sub- 
stitutionen #,A,% --- und den daraus an ten außerdem 
aber auch invariant in bezug auf die Substitution v. 
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Wir beschränken uns von jetzt ab auf den Fall: = 2, so daß 
wir nur zwei primitive Substitutionen z und Ahaben und nur zwei Grund- 
kreise £,%, deren Gleichungen (PA)=p,(PL) = y erfüllt werden, 
die‘ erste durch „= %,, die zweite durch y=x. 
Die Mittelpunkte A, L nehmen wir als fest an, ebenso den einen 
Radius p. g dagegen betrachten wir als variable Größe, die beliebig 
klein, auch o werden kann, und wir denken uns die definierten Funk- 
tionen sämtlich als Potenzreihen von g. 
In E(P,Q) und seinen Teilprodukten mit den Indizes 2,1,*2, 
*A,Ax,AA haben wir sieben Funktionen von P und Q. Davon sind 
E,E,,, E,, symmetrisch; &,, geht aus #,, durch Vertauschung von 
P und @ hervor. Fügen wir noch die beiden hinzu, die aus &,, E, 
bei dieser Vertauschung entspringen, so sind es im ganzen neun Funk- 
tionen, die wir jetzt zusammenfassen wollen. 
Statt Z schreiben wir: 4,.; statt &,,E: E:,,E,.; die durch 
Vertauschung entstehenden seien: FRE AN Wir haben dann die 
neun Funktionen £,,, wo f, ebenso wie g, entweder o, oder z, oder A 
ist. Sie bilden insofern ein symmetrisches System, als durchweg 
E;, (Q aa EP: Q) 
ist. } 
m, waren die Indizes, die nicht mit einem z anfangen. Dafür 
schreiben wir jetzt: m,., und m,, für die inversen, die nicht mit 
einem x endigen. Ebenso: »,, für ın,, m,, für die inversen, m,, aber, 
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