übei' das ISlaaJs der körperlichen TYinkel. 173 



Da nun ^ + £+/+ 0=180'^, so ist Ä + c + fZ=: 180^+2^; folglich 



> A-Hc+rf— 1S0° 



So hat man auf rein elementar- geometrischem Wege den Beweis des 

 bekannten Lehrsatzes ; denn jede dreiflächige Ecke läfst sich als Ecke eines 

 Parallelepipedes ansehen, oder zu einer solchen machen ; der Beweis ist also 

 für jede dreiflächige Ecke gültig. 



Ist die Ecke mehrflächig, so wird sie, wenn n die Zahl der Flächen 

 ist, die sie bilden, durch Schnitte, die man durch eine ihrer Kanten und 

 jede der gegenüberliegenden (nicht ihr benachbarten) legt, in (n — 2) drei- 

 flächige Ecken zerlegt. Die Summe der (n — 2) Ecken ist die mehrflächige 

 Ecke, die Summe der Kanten dieser (n — 2) Ecken wiederum die Summe 

 der Kanten der mehrflächigen Ecke selbst. Wenn also die Ecke E, und 

 die sie einschliefsenden Kanten ä, c, d,f, g • • " sind, so hat man 



E = 



i-t-c-t- d-t-/-f-g-...._(n — 2)1S0° 



2 



also den allgemeineren Lehrsatz auf demselben rein elementar- geometri- 

 schen Wege. 



Für das Rhomboeder, dessen Endspitze wir ^, die Lateralecke jEJ, 

 die Endkante b nennen wollen , ergiebt sich sowohl aus den allgemeinen 

 Eigenschaften des Parallelepipedes, als aus der specielleren Betrachtung, 

 dafs der \\ erth der Endspitze -f- einer Lateralecke = der Endkante , also 

 A + Ez=b, zwei Lateralecken aber an Werth gleich der Lateralkante, d. i. 

 dem Complement der Endkante zu 180°, also 2E= iso° — b, 



2 2 ' 



A = b — E = -i-b — 90°= 



' 2 



wie die allgemeineFormel es ergiebt wegen derGleichheit der Endkanten 6, c,«?. 



Das Granat - Dodekaeder besitzt vorzugsweise zu erwähnende 



Eigenschaften in Betreff des Werthes seiner Ecken, welche sich sehr leicht 



unmittelbar an demselben anschaulich machen lassen. Seine 6 scharfen 



Ecken, um Einen Punkt herum gelegt, beschreiben Eine Raumestotalität*); 



(') Durch Schnitte, durch den Mittelpunkt und die kurzen Diagonalen der Flächen des 

 Körpers gelegt, zerfallt es in 6 Octaeder, deren nach aufsen gekehrte Endspitzen die schar- 

 fen Ecken des Granatoeders sind, die nach innen gekehrten aber den Raum um den Mittel- 

 punkt vollständig beschreiben. 



