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also ist jede = 4- R- Tot, = -f oder -|- Würfelecke. Je vier seiner 8 stum- 

 pfen Ecken beschreiben ebenfalls eine Raumestotalität um einen imd densel- 

 ben Punkt'); jede von ihnen ist also := 4" R3"™^stotalität=: 2 Würfelecken 

 = 1 Würfelkante; die Summe der 8 stumpfen Ecken also = 2 R. Tot., die 

 der 6 scharfen = i R. Tot., die Summe seiner sämmtlichen Ecken = 3 R. Tot. 

 Wenden wir uns zur Bestimmung des Werthes der Ecken des regulä- 

 ren Octaeders und Tetraeders, und nennen die Octacderecke O, die Te- 

 traederecke r, so haben wir 



6 O -h 8 T = 1 R. Tot., oder 3 O -4- 4 T= ^^^ = iso^; 



denn wenn das Octaeder durch 4 Ebnen, parallel seinen Flächenpaaren, 

 eine jede Ebne den Körper halbirend, zerschnitten wird, so liegen um den 

 Mittelpunkt 6 Octaederecken und 8 Tetraederecken herum, und erfüllen 

 den ganzen körperlichen Raum um den Schneidungspunkt. 



Nennen wir ferner die Tetraederkante t, die Octaederkante o, welche 

 bekanntlich beide Complemente zu einander sind, d.i. o = i8ü°=: t, so ha- 

 ben wir 



für — , sin : cos : rad = i : I/2 : |/3; für t, sin : cos : rad = Vs : 1 : 3; cos ^ = 4- 



2 



für — , sin : cos : rad =1/2:1:1/3; furo, sin : cos :rad = l''s : — 1:3; coso = \ 



2 



Am Rhomboeder des Tetraeders ist die Lateralecke -=0 -^T, die Endspitze 



= T; daher die Endkante / = O 4- 2 T. Oder auch : 



Wenn die Kante des Tetraeders durch zwei den Octaederflächen pa- 

 rallele Abstumpfungsflächen seiner Ecken in Einem Punkte geschnitten wird, 

 so zerfällt sie im Schneidungspunkte in zwei Tetraederecken und eine Oc- 

 tacderecke ; foklich ist wiederum die Tetraederkante t=.0 -^2T. 



O 



Wenn aber, nach dem obigen, 2T+ ^0=^ 90°, so ist ^ -h — = 9o°, und 



2 

 folglich für — , sin : cos : i-ad = 1 : Vs : 3, d.i. 



sin — = 4-, 



2 ' ' 



(') Es zerfällt nämlich durch Schnitte, welche die Kanten von 4 abwechselnden seiner 

 stumpfen Ecken der Länge nach halbiren, in 4 Rhomboeder, deren nach aufsen gekehrte End- 

 spitzen die 4 unzerschnitlenen stumpfen Ecken sind, während die ihnen gleichen, nach innen ge- 

 kehrten, den Raum um den Mittelpunkt vollständig einnehmen. 



