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Das gleiche Resultat konnten wir daraus ableiten, dafs, wie oben be- 

 merkt, / = O + 2 T, also T = -^ — ~ 



Nun ist für — , sin : cos : rad ^ i :V2 :V3, 



für -^, sin : cos : rad = i : 2I/2 : 3, 



also für T, sin : cos : rad = V2 : 5 : 3V3. 



Suchen wir den trigonometrischen Ausdruck für die Summe der 4 

 Ecken des regulären Tetraeders (das Minimum des Eckenwerthes eines Kör- 

 pers), so findet sich für iT 



sin : cos : rad = 20. 2,31/2 : 629 — 300 : 3'= 46o]/2 : 329 : 729 



j rr. 329 7.47 



oder cos 4 i = — = — ^ 



729 3*" 



Dafs die Summe von 3 Octaederecken das Complement "von iT zu 

 iso° ist, gab die obige Formel 3 0-i-AT= i80°, 



also ist für 3O, sin : cos : rad = 20 . 231/2 : — 329 : 729 



cos 3(J = j- 



Eben so ist für 8 2\ als dem Complement von 6 O zu 360° aus dem 

 obigen klar, dafs für s T 



sin : cos : rad = 2. 4601^2 : 329" — 2.460^^ : 3"' = 2.46ol/2 : — 17.97. 191 : 3'" 



rr, 17.97.191 

 C0S8r= ^p— 



Da/ = + 2T, SO ist 3/ = 30 + er, folglich, da 3O + 4r= iso", 



3/ = 180"+ 2 T 



mKU = 6o"+-|-r; 



r=i(/-6o°) = i/-9o° 



Die Summe der 6 Kanten des Tetraeders aber ist =360°+ 4 T, d. i. 

 360°+ die Summe seiner Ecken. 



In ähnlicher Art, da o = 2 O -h 2 T, ist die Summe der 12 Kanten des 

 Octaeders =240 + 24r = 60 + 3 . (6 + s T) = 6 O + 3.36o°, d. i. die 

 Summe der Kanten des regulären Octaeders ist = 3 mal die Raumestotalität 

 -f- die Summe seiner Ecken. 



Fügt man hinzu das Parallelepiped , so ist die Summe der 12 Kanten 

 desselben jederzeit = 6. iso°=3.36o°. Da nun die Summe seiner Ecken 

 = 360^ so gilt für das Parallelepiped der Satz, dafs die Summe seiner Kanten 



