über das DIaafs der hörpcrlichen JVinhel. 177 



= 2.360°, oder zweimal die Raumestotalität + die Summe seiner Ecken, 

 für das Tetraeder einmal » « + » » » » 



» » Octaeder dreimal » » 4- » » » » 



und zwar gilt dies für jedes Octaeder (mit je zwei parallelen Flächen und 

 6 vierkantigen Ecken) und für jedes Tetraeder, nicht etwa blos für das 

 reguläre ('). Es sei das Octaeder ein irreguläres, von viererlei verschie- 

 denen Flächen A,B,C, D, A\ B', C, D', je zwei einander parallel gebildet, 

 so wird es dreierlei Ecken E, I, O, und sechserlei Kanten haben, immer je 

 zwei entgegengesetzte gleich. Getheilt durch die Schnitte parallel den 4 Flä- 

 chenpaaren durch den IMittelptmct gelegt, wird es immer in 6 ihm ähn- 

 liche Theiloctaeder und 8 Theiltetraeder zerfallen, deren 6 Kanten 

 die Complemente der sechserlei Kanten des Octacders zu isü°, und deren 4 

 verschiedene Ecken a, b, c, d die den Flächen A, B\ C, D' gegenüberliegen- 

 den sind. Immer werden die im Mittelpunct zusammenstofsenden 2(E+I+0) 

 und 2{a+b-i-c-i-d) = Eine Raumestotalität = 360° sein. Jede Octaederkante 

 ist = zwei Octaederecken, wie E, I, oder O, und zwei Tetraederecken, 

 wie a, b, c, oder rf. Man erhält durch Summirung der i2 Kanten die Summe 

 8 {E+I+O) + 6 (a+b-hc-hd). Da nun 6 {E+I+O) ■+- 6 (a+b+c+d) = 3.360°, 

 so ist die Summe der Kanten := 3.36o°+ 2 (£+/+0), d.i. -t- die Summe 

 der Octaederecken. 



Eben so ist jede Tetraederkante ^ einer Ecke ihres Theiloctaeders, 

 d. i. einer Octaederecke E, I oder O, -f- 2 Tetraederecken wie o, b, c oder d\ 

 die Summe der 6 Tetraederkanten wird z=2{E+I+0) -4- 3(a + 6-+-c-t-c?). 

 Da nun 2{E-\-I-\-0)-^2{a-\-b-{-c-{-d) = 360°, so ist die Summe der Tetraeder- 

 kanten = 3üu°+ (^a+b+c+d), d. i. = 36o°-|- die Summe der Tetraederecken. 



Da, wie wir oben sahen, o := 2 O -j- 2 T, also 20 •=. hO + hT, so ist 

 auch 20 =: O -h iSü°, und o =: ^ -h 90°, oder O = 2. (o—yü°). 



(') Durch diese Bemerkungen veranlafst, fand Hr. Steiner alsbald den schönen all- 

 gemeinen Lehrsatz: 



„Man denke sich ein beliebiges Polyüder, bezeichne die Anzahl seiner dreikantigen Ecken 

 „durch a, seiner vierkantigen durch 6, seiner fünfkantigen durch c, seiner sechskantigen 

 „durch d u. s. f., ferner die Summe aller Kanten durch 2 Ar, und die Summe aller Ecken 

 „durch ie, so erhält man: 



Xk = 'Xe-{-{a-{-2b + 2,c-\-Ad-\ ) 90°." 



Physik. -math. Kl. iSi3. Z 



