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Man kann also auch sagen, O ist gleich dem Complement des Zwillings- 

 winkels am Spinellzvvilling zu isu°, d. i. an dem Zwilling, welchen 2 Octaeder 

 bilden, die eine Octaederfläche als Grenze gemein, die übrigen Octaeder- 

 flächen in umgekehrter Lage (gegen die Grenzfläche) haben; denn dieser 

 Zwillingswinkel ist z=2t\ t = no° — o; sein Complement zu 90° ist =0 — yo°; 

 2.(0 — 90°) ist zweimal das Complement des halben Zwillingswinkel zu 90°, 

 also das Complement des ganzen zu 180°. 



In Bezug auf andere Körper des regulären Krystallsjstems möchte zu- 

 nächst Erwähnung verdienen, dafs am Granat-Dodekaeder die scharfe 

 Ecke, die, wie wir sahen, = J- Raumestotalilät, eben darum gleich ist 

 O + yT; das yT hat aber wiederum seinen geometrisch anschaulichen 

 Character, da die Tetraederecke in 3 gleiche Theile leicht getheilt wird 

 durch halbirende Ebnen der drei Kanten, welche in der Ecke zusammen- 

 stofsen. 



Da, wie bereits erwähnt, die Summe der 6 scharfen Ecken des Gra- 

 natdodekaeders = Einer Raumestotalität = 36o°, die seiner acht stumpfen 

 Ecken = 2.360°, die seiner 24 Kanten aber (deren jede ^ 120°) = s.36o°, so 

 ist klar, dafs 



die Summe seiner Kanten = 5.360° + die Summe seiner Ecken. 



Beim Mittelkrystall zwischen Würfel und Octaeder, dem Kubo- 

 Octaeder (dem Gegenkörper des Granatdodekaeders, wie Octaeder und 

 Würfel Gegenkörper von einander sind) ist derWerth einer Kante =90°-i--, 

 also der Werth der 24 Kanten := 6.360°+ i2if; der Werth einer Ecke wie- 

 derum = t, der Werth der 12 Ecken also = \2t; folglich 



die Summe der Kanten = 6.360°-+- die Summe der Ecken. 



Die Octaederfläche nemlich als Abstumpfung der Würfelecke schnei- 

 det von der Würfelkante eine Ecke ab, welche eingeschlossen wird von einer 

 Kante von 90° (der Würfelkante) und zwei Kanten, jede gleich einer halben 

 Octaederkante ; der Werth einer solchen Ecke ist also = "-^ — . Zwei sol- 

 che Ecken von der Würfelkante abgezogen, giebt den Werth der Ecke des 

 Mittelkrjstalls ; dessen Ecke ist also iso° — = ^. 



Dafs die Kante des Mittelkrjstalls, d.i. die Kante zwischen Octaeder- 

 fläche ^9o°-f--^, ist wohl von selbst klar, oder kann auch dadurch erläutert 

 werden, dafs sie die Kante ist zwischen der geraden Abstumpfung der Te- 



