Eine Anwendung der Facullätentheorie und der 



allgemeinen Taylorsclien Reihe auf die 



Binomial - Coefficienten. 



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 Hrn- GRELLE. 



[Gelesen in der Akademie der ^Yissenschaften am 30. März 1843.] 

 1. 



D. 



'ie unter dem Namen der Taylorschen bekannte Reihe ist die Grund- 

 lage der sogenannten Differential- und Integralrechnung oder der sogenann- 

 ten Infinitesimalrechnung. Lagrange hat Solches überzeugend nachgewiesen. 

 Begründet man die Infinitesimalrechnung auf eine andere Weise, so geschieht 

 es nur auf Umwegen, mit selbst geschaffenen Schwierigkeiten; die wahre 

 Quelle der Theorie wird blofs umgangen. 



Nun hat mich schon vor einer langen Reihe von Jahren der Umstand, 

 dafs die Anwendung der Infinitesimalrechnung auf die Entwickelung gewisser 

 besonderer Functionen, z. B. der Facultäten, eigenthümliche Schwierigkei- 

 ten findet, auf die Vermuthung gebracht, dafs die besondere Taylorsche 

 Reihe nicht die allgemeinste Grundformel der analytischen Entwickelun- 

 gen sein möchte, sondern dafs die tiefere und allgemeinere Quelle dersel- 

 ben in der Differenzenreihe, die ein beliebiges Glied einer Reihe von 

 Gröfsen durch die wiederholten Differenzen der vorhergehenden Glieder 

 ausdrückt, zu suchen sein dürfte ; und zwar deshalb, weil aus dieser Reihe, 

 welche man die allgemeine Taylorsche Reihe nennen könnte, sobald 

 man sie in ihrer vollen Allgemeinheit nimmt, die eigentlich sogenannte 

 Taylorsche Reihe als ein besonderer Fall hervorgeht, nemlich als der 

 Fall, wenn die Veränderung der Gröfse, von welcher die Glieder der Reihe 

 Functionen sind, gleich Null gesetzt wird. 



Sodann hat es mir bei der Entwickelung von Functionen vermittelst 

 der allgemeinen, oder auch vermittelst der besondern Taylorschen Reihe 

 Phjsik. - malh. AT/. 1 843 . A 



