2 C E E L L E . Eine Anwendung der- FacuUätenth corie 



geschienen, dafs diese Entwickelung, sobald die entwickelten Ausdrücke für 

 ganz beliebige, algebraische, oder transcendente, reelle, oder imaginäre 

 Werthe der Gröfsen, von welchen die Functionen zu nehmen sind, gelten 

 sollen, eigentlich nur auf die Weise geschehen könne, dafs man die Grund- 

 regeln, welchen die Functionen folgen, wenn die Gröfsen, von welchen 

 sie abhängen, sich verändern, als Bestimmungen ihrer Eigenschaften 

 festsetzt und danach die Entwickelung, etwa vermittelst der allgemeinen 

 oder der besonderen Tajlorschen Reihe, ausführt. Da nun die Festsetzung 

 der Grundregeln für eine Function, blofs unter der Bedingung, dafs die Re- 

 geln nichts einander Widersprechendes geben, willkürlich ist: so ist es 

 zugleich bei dieser Verfahrungsweise leicht möglich, dafs man durch sie zu 

 manchen neuen Functionen und ihrer Entwickelung gelange, die von den 

 bekannten wesentlich abweichen. Will man aber auch zu Grundregeln die- 

 ser oder jener Function diejenigen Gesetze annehmen, welche sie für be- 

 sondere, z. B. für reelle oder für ganzzahlige Werthe der Gröfsen, von 

 welchen sie abhängt, wirklich befolgt, so hindert daran nichts. Man erhält 

 alsdann Functionen und ihre Entwickelung , welche die Eigenschaft haben, 

 für besondere Werthe ihrer Elemente die vorausbestimmten Regeln zu 

 befolgen; und die Functionen, in ihi-em allgemeinen Sinne genommen, wer- 

 den nunmehr durch diese auf den allgemeinen Fall ausgedehnten Regeln de- 

 finirt. So z. B. haben Potenzen die Eigenschaft, dafs in dem besonde- 

 ren Falle, wenn j* und k ganze positive Zahlen bezeichnen, 



1. cc^. 0:*= o:^"^* und 



2. {jc')''=oc'" 



ist. Facultäten haben die Eigenschaft, dafs, wenn wieder 2; und ä: posi- 

 tive ganze Zahlen bezeichnen, in welchem Falle man die Facultäten auch 

 Factoriellen zu nennen pflegt, 



3. {x, -\rjy^'= {ac, +yy {x + zj, +j)'' 



4. (iix, + njy = (07, 4- j)' -n' und 



5. (x,-\-jy = x 



ist. Nun hindert nichts, Functionen zu setzen, die auch dann, wenn in 

 (l. 2.) j- und 7c, und in (3. 4. und 5.) zund k nicht ganze positive, sondern 

 beliebige, reelle oder imaginäre Zahlen sind, dieselben Grundregeln befol- 

 gen, und diese Functionen Potenzen und Facultäten zu nennen. Es 

 kommt nur darauf an, dafs die Voraussetzung nicht auf Widersprüche führt; 



