und der allgemeinen Taylorschen Reihe auf die Binomial-Cocfficienten. 3 



was auch, wenigstens bei den Potenzen, leicht sich nachweisen läfst. Die De- 

 finition der Potenzen und Facultäten wird dann durch jene Grundregeln 

 ausgedrückt. In der That geschieht auch wirklich, wenn man auf den Grund 

 geht, selbst bei der gewöhnlichen Theorie der Potenzen und Facultäten im 

 Wesentlichen eigentlich nichts anderes; nur dafs man das Verfahren 

 nicht geradezu und offen ausspricht. 



Die obigen beiden, auf analytische Entwickelungen sich beziehenden 

 Ansichten suchte ich zuerst vor 20 Jahren in einer Schrift „Versuch einer 

 allgemeinen Theorie der analytischen Facultäten, Berlin bei Reimer, 1823." 

 etwas näher auseinanderzusetzen und zu verfolgen. In meinem „Lehrbuch 

 der Arithmetik und Algebra, Berlin, bei Reimer, 1825." folgte ich ihnen 

 ebenfalls. Späterhin kam ich darauf bei einzelnen Anwendungen und bei 

 den Bemühungen um ihre weitere Vereinfachung und Vervollständigung öfter 

 zurück. Im Jahre 1828 beehrte ich mich, hier in der Akademie einen 

 Aufsatz über die Grenzen der Werthe des Restes der allgemeinen Taylor- 

 schen Reihe vorzulesen, als einen Versuch der Schätzung der Convergenz 

 der Reihen, auf welche es bei dieser, wie bekanntlich bei allen Reihen, so- 

 bald sie ohne Ende fortlaufen, vorzüglich ankommt. In den Jahren 1829 

 und 1830 trug ich, ebenfalls in der Akademie, Einiges über die Anwendung 

 der allgemeinen Taylorschen Reihe auf Potenzen vor. Im 4. Bande des 

 Journals der Mathematik, im Jahre 1829, theilte ich einen allgemeinen und 

 einfachen Beweis des binomischen Lehrsatzes mit , den ich auch noch jetzt 

 für den einfachsten, wenn nicht einzig wirklich strengen Beweis dieses Satzes 

 halte , insofern der Satz in seiner gröfsten Allgemeinheit dargethan werden 

 soll. Im Jahre 1839 suchte ich in einem in der Akademie vorgelesenen, 

 im 22"°° Bande des Journals der Mathematik gedruckten Aufsatze die im 

 Jahre 1828 mitgelheilten Bemerkungen über die Grenzen des Pxcstes der all- 

 gemeinen Taylorschen Reihe zu vervollkommnen und weiter zu verfolgen. 



Je länger ich über den Gegenstand nachdenke, je mehr befestigt sich 

 in mir die Ansicht, dafs der angedeutete Weg der rechte für analytische Ent- 

 wickelungen sei, und dafs auf diesem Wege auch das Vorhandene auf die 

 einfachste und naturgeniäfseste Weise , aufserdem aber wahrscheinlich auch 

 Neues und Bedeutendes zu erzielen sein dürfte. Man kann freilich gegen 

 die allgemeine Taylorsche Reihe das Bedenken aufstellen, dieselbe sei im 

 Grunde nur ein identischer Ausdruck und lehre also von den Functionen, 



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