4 Grelle. Eine Anwendung der Facultätentheorie 



welche man durch sie ausdrückt, nichts Neues. Allein gerade die Identität 

 giebt ihr ihren hohen VVerlh. Eben dadurch besitzt sie die vollendetste 

 Strenge und Wahrheit, die keine Ausnahme gestattet. Und was sind am 

 Ende überhaupt richtige Reihen -Eiitwickelungen, sobald man den Rest 

 nicht wegläfst, anderes als identische Ausdrücke? Was anderes ist z. B. 

 die Entwickelung des Bruches — ^ — = i — a + a'^ — a^....-H """ ? 

 Auch der binomische Lehrsatz ist für ganzzahlige positive Exponenten, wo 

 kein Rest der Reihe weggelassen wird, nichts anderes als ein identischer 

 Ausdruck, Die Identität hört erst auf, wenn der Rest weggelassen 

 wird und weggelassen werden darf; welches letztere, insofern die Reihe 

 ohne Ende fortläuft, dann der Fall ist, wenn der Rest immerfort abnimmt 

 und im Unendlichen Null ist oder die Reihe convergirt. Auch bei 

 der allgemeinen Tajlorschen Reihe kann der Rest weggelassen werden, so- 

 bald für jede besondere Anwendung derselben nachgewiesen worden ist, ■ 

 dafs die Reihe in solchem Falle convergire oder dafs ihr Rest immerfort 

 abnehme und im Unendlichen Null sei : und auch dies zu beurtheilen, ist sie 

 ganz, und ähnlich der besonderen Taylorschen Reihe, insbesondere dadurch 

 geeignet, dafs sie an ihrem Schlüsse, nach beliebiger Fortsetzung, einen be- 

 stimmten Ausdruck des Restes angiebt. 



Ich habe die Überzeugung, dafs nicht sowohl die besondere, als 

 vielmehr die allgemeine Tajlorsche Reihe eine sehr ergiebige Quelle ana- 

 lytischer Entwickelungen ist und dafs sie, während sie für passende Fälle auf die 

 besondere Taylorsche Reihe als einen einzelnen in ihr enthaltenen Fall re- 

 ducibel ist, nicht blofs diejenigen Entwickelungen zu geben vermag, welche 

 die besondere Tajlorsche Reihe oder, was dasselbe ist, die Differential- 

 und Integralrechnung mit so grofser Leichtigkeit liefert, sondern auch, un- 

 mittelbar und unreducirt, in ihrer Allgemeinheit, andere Entwickelungen, 

 die jene weniger leicht giebt und zu welchen man nur durch mannichfache 

 einzelne Kunstgriffe gelangt. Ich halte, wie gesagt, die allgemeine Taylorsche 

 Reihe für eine gute und für die festeste Grundlage der gesammten Rech- 

 nung mit veränderlichen Gröfsen und bin der Meinung, dafs diese Rech- 

 nung nur erst dann ein grofses und schönes wissenschaftliches Ganze aus- 

 machen werde, wenn sich jene Grundformel ihr an die Spitze gestellt hat. 



Kürzlich wui'de ich zufällig bei einer andern Arbeit (aus der Theorie 

 der Zahlen) darauf geleitet, die Eigenschaften der Binomial-Goeffi- 



