und der allgemeinen Tajlorschen Reihe auf die Binomial- Coefficienten. 5 



cienten auf eine möglichst allgemeine Weise zu discutiren. Nachdem ich 

 Anfangs die gewöhnlichen Mittel nicht ohne Mühe dazu zu benutzen gesucht 

 hatte, fand sich, dafs auch die mannichfachen, theils bekannten, theils viel- 

 leicht auch noch nicht bemerkten Eigenschaften der Binomial- Coefficien- 

 ten mit der gvöfsten Leichtigkeit unmittelbar aus der allgemeinen Taylor- 

 schen Reihe sich herleiten lassen. Es wird sich Solches aus Dem, worauf 

 ich gekommen bin und was ich als ein ferneres Beispiel der Ausführung mei- 

 ner obengedachten Ansichten hier kürzlich vorzutragen mich beehren will, 

 ergeben. 



2. 



Wenn Fx irgend eine Function der veränderlichen Gröfse o: bezeich- 

 net, und es verändert sich x um die beliebige Gröfse k, so ist, der allgemei- 

 nen Taylorschen Reihe zufolge, 



k{k-e){k-2e)...{k-{a-i)e) ^^^ p^ 



:i.3.4...f-ie'' +' 



k{k-e)ik-2e)...{k-,x e) ^^ / F{x + k)-Fx \ 



In diesem Ausdruck bezeichnet e eine gänzlich willkürliche, weder von 

 ar, noch von A: abhängige Gröfse, und A^^ zeigt an, dafs in Dem, wovor es steht, 

 x-\- e statt X und zugleich k — e statt k gesetzt und von dem Resultat Das 

 woraus es entstand , wieder abgezogen werden soll. Also bedeutet z. B. 



A^,Fa-sovielalsF(>r-t-e)— Fo-; A^,Fa'bedeutetA^, (A^.F(a:-t-e) — A^,Fa-); 

 A^^^jFo: bedeutet A_^, (A^7'F(x-t- e) — A^7'F.r)-, der Ausdruck des Rests 



der Reihe, mit welchem sie schliefst, bedeutet A^^ ( -^+7' 



— A! 



F {x + k) — Fx 



y Der Ausdruck (6) ist vollkommen identisch; und 

 wenn man alle Glieder, sammt dem Rest, nach der eben angezeigten Bedeu- 

 tung der Zeichen entwickelt, so erhält man zuletzt die identische Glei- 

 chung F (.r -I- ä:) = F (a- -t- /t). Die sehr einfache Herleitung der Reihe 

 hier zu wiederholen, ist nicht nöthig, denn sie steht z. B. in der obenge- 

 dachten, in der Akademie am 31. Januar IS^S vorgelesenen Abhandlung 

 S. 4 und 5. 



