6 Grelle. Eine Anwendung der Facultätentheorie 



3. 



Facultät, und wenn z und k ganze positive Zahlen sind, Fac- 

 torielle, soll diejenige Function heifsen, welche die durch die drei Glei- 

 chungen (3, 4 und 5 § 1.) ausgedrückten Bedingungen erfüllt, x soll Basis, 

 y Differenz und 5 oder /c Exponent heifsen. 



Setzt man in (3) k ■= i und der Reihe nach ^ = i, 2, 3 . . . . ju, so erhält 

 man vermöge der Gleichungen (3 und 5) : 



\x, +yY= {x, +yy{x + j, +yy = x{x + j), 



\Xx, +yy = {x, +yy {x + 2y, + /)' = (x, ^y)' {x + 2j), 



]{x, -hyy= {x, +yy (x + 3y, + j) ' = {x, +yy (x + 37), 



j{x,+yy-'={x,+yy-'(x + (!x-2)y, + x)'=(x,+yy-\x+(ix-2)yy 

 Ux, +yy={x,-i-yy-'{x + (!J--i)y, + j)' = {x, +yy-' (x+{ix~i)y). 



Substituirt man die erste dieser Gleichungen in die zweite, das Resultat in 

 die dritte, das Resultat in die vierte u. s. w., so erhält man 



8. X, -^j-y =x(x+ y) {x + 2y) {x + 3 j) {x + {y. — \)y) ; 



woraus folgt, dafs die durch die drei Gleichungen (3. 4. 5.) bestimmte oder 

 definirte unbekannte, willkürlich durch (a^^,+j-)' bezeichnete und Facultät 

 benannte Function in dem Falle, wenn der Exponent s eine positive ganze 



Zahl /^ ist, dem Producte dev f^Yacloven x, x -\-y, x + 2y, x -\- zy 



x-\-{ix — i)j- gleichkommt. Sie heifst in diesem Falle Factorielle. Dafs 

 die dritte Gleichung (4), welche bei der Entwickelung des Resultats (8) für 

 den Fall eines ganzzahligen positiven Exponenten \x nicht benutzt wurde, 

 dem Resultate für diesen Fall nicht widerspreche, folgt unmittelbar; 

 denn setzt man in (8) nx und ny statt x und j-, so erhält man 



{7ix,+nYY = nx (iix+ny') {iix-{-2ny) (iix + iny) (nx+Qx — i)nj^),oder 



(71 X, + ny) "^n^x (x +y) {x + 2y) {x + zy) — (o: + (/^ — 1 ) j) 

 oder, vermöge (8), 



9. {nx,+nyy = n''{x,-\-yy; 



wie es die Gleichung (4) verlangt. Was die unbestimmte Function {x,+yy 

 in dem andern Falle, wenn z nicht eine ganze positive Zahl ist, sein, oder 

 welchen Werth sie dann, den drei sie delinirenden Gleichungen (3. 4. 5.) 



