und dei- allgemeinen Taylorschen Reihe auf die Binomial- Coefficicnten. 7 



gemäfs, haben werde, mufs ihre Entwickelung nach der allgemeinen Taylor- 

 schen Reihe (6) ergeben, weil diese für jede beliebige Function Statt 

 findet. 



4. 



Ein Binomial-Coefficient ist nur in dem Fall, wenn sein Zeiger 

 [X eine ganze positive Zahl ist, der Quotient zweier Factoriellen; nem- 

 lich der /li" Binominal -Coefflcient zum Exponenten x, den man durch x^ zu 

 bezeichnen pflegt, ist 



_ X (.r - 1) (g- - 2) (x - 3) ■ ■ ■ ■ {x - » + l) 

 ^"- ^>^ — 1.2.3.4. ...^t ■' 



welches zufolge (S) auch wie folgt geschrieben werden kann : 



11.- ^^ = fci!);. 



Es würde indessen nichts hindei'n, den Begriff des Binomial-Coef- 

 ficienten auch auf den Fall auszudehnen, wenn sein Zeiger \x nicht eine 

 ganze positive, sondern eine beliebige, ganze oder gebrochene, rationale 

 oder irrationale, reelle oder imaginäre Zahl ist, und also allgemein den Quo- 

 tienten x^ der beiden Facul täten {x, — i)" und (1,-^1)"", nemlich 



12. x=^^^ 



mit dem Worte Binomial-Coefficient zu bezeichnen. Die Facultät 

 (1,-1- i)"" im Nenner von a-„ wäre dann Das, was man auch durch T" auszu- 

 drücken pflegt. 



Es könnte scheinen, dafs sich der Begriff des Binomial- Coefficienten 

 noch mehr erweitern lasse, wenn man auch noch die Differenz der bei- 

 den Facultäten, deren Quotient gemeint ist, nicht gerade = — 1 und -H i,, 

 sondern beliebig, z. B. := n \md e annähme, und also 



13. ^y, =^^^ 



setzte ; allein dieser Ausdruck drückt rücksichtlich der darin vorkommenden 

 Facultäten nichts von (1'2) wesentlich Verschiedenes aus; denn zufolge 

 der zweiten Grundgleichung (4) erhält man für (13) 



(--'-')"■(-")"■ (--.-ir 



14 X — " — " (■Zl£\—ilL^\ (^HV 



(1, -*- 1)" e" ~ (l,-*-ir ^ e / ~"V „ /„ • V e /; 



