8 Grelle. Eine Anwendung der Facultätentheorie 



so dafs auch (13) nichts anderes ist als ein Binomial-Coefficient, nach (12), 

 blofs noch mit einer Potenz multiplicirt. Es kommt nur darauf an, dafs 

 die Exponenten der beiden Facultäten im Zähler und Nenner einander und 

 dafs Basis und Differenz der Facultät im Nenner unter einander gleich sind. 

 Unter dieser Bedingung für den mit dem Namen Binomial-Coefficient 

 belegten Quotienten zweier Facultäten ist schon der Ausdruck (12) völlig 

 allgemein. 



Der Fall, wenn in (13) m nicht eine ganze positive, sondern eine 

 beliebige Zahl ist, möge für jetzt, um das hier Vorliegende nicht zu 

 sehr zu verlängern , dahingestellt bleiben , und nur insbesondere der Fall 

 untersucht werden, wenn ni eine ganze positive oder negative Zahl + ju oder 

 — jU ist. 



5. 



Es wird also darauf ankommen, zu sehen, was sich für den Bino- 

 mial-Coefficienten .r^^:'^^^^^^^ durch die allgemeine Taylorsche Reihe oder 

 durch andere allgemeine Entwickelungs -Ausdrücke ergebe. 



Zu dem Ende wird es nöthig sein, zunächst einige allgemeine Ver- 

 wandlungs- Formeln für Facultäten überhaupt herzusetzen, weil die wei- 

 tere Entwickelung ihrer bedürfen wird. Auch wird es des methodischen 

 Zusammenhanges der Entwickelungen wegen gut sein, herzusetzen, wie der 

 binomische Lehisalz selbst unmittelbar aus der allgemeinen Taylorschen 

 Reihe folge. 



Für alles Folgende werde bemerkt, dafs, um möglichst die Wie- 

 derholung von Erläuterungen durch Worte zu ersparen, alle Zahlen, welche 

 beliebig sind, das heifst, positiv oder negativ, ganz oder gebrochen, rational 

 oder irrational, reell oder imaginair sein können (sowie es auch schon bis hier- 

 hin beobachtet worden ist), jedesmal nur durch lateinische Buchstaben be- 

 zeichnet werden sollen: sobald aber die Zahlen der Bedingung unterworfen 

 sind, nur ganz oder positiv zusein, sollen dafür griechische Buchstaben 

 und möglichst die correspondirenden Buchstaben geschrieben werden. 

 Unter dieser Beobachtung ist dann durch den blofsen Anblick die Bedeu- 

 tung der Buchstaben und der Ausdrücke zu erkennen. 



A. Aus (3) folgt für z^o und k = i: 



{x, +j) • = {x, -hjr)" (x, +yy 



