10 Grelle. Eine Anwendung der Facultätentheorie 



Nimmt man in (20) i für das ganz willkürliche u und c, oder setzt man 

 auch nur m = c in (20), so erhält man 



21. {^,+jy= ^''-^\_^ ,y=EL_,y, 



y y 



(1,-M) r 



So also kann jede Facultät blofs durch die Function V ausgedrückt werden. 

 Setzt man in (20) u-=. x, (^ = — y, so erhält man 



y 



22. (a^+j)' = ^''~^L .(-!)'. 



y 



Dies ist der Ausdruck einer beliebigen Facultät durch zwei andere, in wel- 

 chen die Basis dieselbe ist, die Differenz aber das entgegengesetzte Zei- 

 chen hat. 



D. Wenn der Exponent z einer Facultät eine ganze positive Zahl 

 ^ ist, so ist 



23. {pc,-\-y)^={x-^{z — \)y,—j)^. 



Dieser Ausdruck findet aber auch nur für ganzzahlige positive Expo- 

 nenten oder nur für Factoriellen Statt, nicht nothwendig allgemein für 

 beliebige Exponenten oder für Facultäten. Letzteres ergiebt sich, 

 wie folgt. 



Man setze in (20) M = a:+(s — i)j^, p=— jj^, so erhält man 



^ ' + !,•■— Uy 



24. ix,^jy= ^^^^-^'^^-^^\^^^^ l^^ (- .)- 

 (.t-+-(^-o /,-/)' 



r 

 (j:-f-(ü — l)j^,— j) 



2x 



\-: — 1 



Aber zufolge (3) ist 



2.r 2 

 h2t-l 



{x-^{z — \)y, — y) —{x + {z — \)y,—yy {x-^(z—\)y—zy,-y) 



oder £i^,_, l^^_. 



(-0'. 



