12 Grelle. Eine Anwendung der FacuUätentheorie 



nothwendig Statt, und folglich nur, wie sich oben ergab, für Factoriellen, 

 nicht allgemein für Facultäten. 



6. 



Für Binomial-Coefficienten ergiebt sich nun zunächst, vor der An- 

 wendung von Entwickelungs- Ausdrücken, Folgendes. 



A. Ist in dem allgemeinen Ausdruck eines Binomial-Coefficienten 



31. „^^(üiZlOl (12) 



(1/-^!)"' ^ '' 



m gleich Null, so findet sich aus (15) 



Ein Binomial-Coefficient mit dem Zeiger o ist also immer = i. 



B. Setzt man in (31) m = \, so ergiebt sich zufolge (5) 



EinBinomial- Coefficient mit dem Zeiger i ist also immer seiner Basis n gleich. 



C. Setzt man in (31) n = der ganzen positiven Zahl v, und m ebenfalls 

 = V, so erhält man nach (8) 



34 , ^ (.,,-1)^ ^ ,(„_0 (,_2) („-3)...(,.-(,>-l)) ^ .(,-l) (.-2) (— 3)-2.1 ^^ 

 (l.-t-l)" 1.2.3.4....!^ 1.2.3.4 ' 



D. Zufolge (31) und (8) ist 



^- , , . in-i-i)n jn-l) (n-2) . . . (n+1 - (f/-l)) _ {n+\) n(n-l) (n-2). . .{n-Qx-fj) 

 30. {n + i)= 1.2.3.4...... 1.2.3.4...... ' 



gg ^ _ »(n-1) (»-2) (n-3)....(^-(,.<— 2)) (n-(,.-l)) 



f 1.2.3.4..../. 



07 n {n — i) (n — 2) (n — 3) (» — (,. — 2)) 



"''-< 1.2.3.4....,.— ! 



Daraus folgt 



n(n — i) (?i — 2) (n — 3) ....(?? — (,. — 2)) / « -f- 1 » — (f. — l) 



(„+0 _„ ^ n(.-l)(.-2)(.-3)....(.-0.-2 )j ^ /;^ + l_ »-(,.-lA ^^^^ 

 ^ ' '^ "■ 1.2.3.4....,. — 1 \ ;. /. / 



t( n — 1)(» — 2) (»— 3)....(n — (f. — 2' 



1.2.3.4....,. — 1 



38. (?z-M)„ — /2.^=n„_j, 



(„-H,),^_„---i( -')^"-f;-^)--^"-^"-^)) .^i=J oder 



^ '" '* 1.2.3.4...... — 1 ,. 



