14 Grelle. Eine Anwendung der Facultätentheorie 



Für/.t=:o, 7z_,=(7i+i)o — n^ =1 — 1 (32) = 0, also auch (71+1), = 0, 

 Fürju = — 1, n_2 = ("4-i)_, — 7z_, = o — = 0, also auch (77+i)_2=:o, 



■*FÜI'|!X = — 2, 72_3 = (7l+l)_„ 7Z_2 = — = 0, also auch (72+l)_3=0. 



U. s. w. 

 Also ist überhaupt 



das heifst, alle Binomial-Coefficienten mit negativen ganzzahligen Zei- 

 gei'n sind Null. 



7. 



Der binomische Lehrsatz in unbedingter Allgemeinheit ei-giebt sich 

 aus dem allgemeinen Taylorschen Lehrsatze wie folgt. 



Man setze in der Reihe (6) e= 1, so reducirt sie sich auf 



49. F (x+k) = Fcc+k, A^, Fx+k, A^, Fx+k' ^l,Fx 



ÜNun setze man 



50. Fx = u% 

 so ist 



51. A^^Fx=Lu'"^^ — u"=u'{u—l). 



Daraus folgt 



!A^, Fx = {u'^' — u') {u — 1) = u' {u — 1)", 

 £i.l,Fx—{u-^' — u'){u — \y = u{u — i)\ 

 ^l,Fx = {u'^' — u') {u—\y = u' {u — iY , 

 <\'^^Fx=: (u' + ' — u") (j< — l)"~' = a"(w— 1)"; 



also giebt (49) 



53. u''-'=u'[i+k,(u-i)-i-k,{u-iy-i-k,(u-iy....-i-k^(u-iy] 



+/c.(7.-.)A:,(-^i:if:iii). 



Dieses reducirt sich für x = o auf 



54. M*= i+Zc, {u — i)+k2 (u—iy + k^ (" — 1)^ +^"„("— 0" 



+/c,(a-m)a:.('^) 



und, wenn man tz + 1 statt u schreibt, auf 



55. {i+ny = i + k,n+ky+k,Ji' 4-/c,7i^+/.-„(A— |u)A;, ( ^'"^f "' )• 



