und der allgemeinen Taylorschen Reihe aufdieBinomial-Coefßcienten. 15 



Dieses ist der binomische Lehrsatz für jedes beliebige n und A-; 

 zugleich mit dem Ausdruck 7c^(/L — f.c)A^'( ^ '"*""]. ~ ' ) des Rests der Reihe. 

 Ist der Exponent k eine ganze positive Zahl k, so bricht die Reihe mit 

 dem Gliede y.^n" ah und reducirt sich auf 



56. (i +7i)'' = i + >£, n-\-K„n'^+H,^n^ +>^«_, """'+""; 



denn wegen des Factors k — (U in dem Ausdruck des Rests ist dann der 

 Rest für fj. = K Null. Ist K nicht eine ganze positive Zahl, so läuft die 

 Reihe ohne Ende fort und es ist alsdann ihre Convergenz zu untersuchen ; 

 was ich im 2"" Hefte 5"" Bandes des Journals der ölathematik gethanhabe. 



Nach diesen Vorausschickungen wird sich nun die allgemeine Taylor- 

 sche Reihe zur Entwickelung von Ausdrücken der Binomial-Coefficienten 

 wie folgt benutzen lassen. 



Zunächst lassen sich unmittelbar aus der Reihe dergleichen Aus- 

 drücke entnehmen, und zwar, indem man zuförderst Fx = ar^ setzt. 



Hierauf wird erst ein zweiter Ausdruck, der eben so allgemein ist, wie 

 die allgemeine Taylorsche Reihe selbst, aus ihr zu entwickeln sein; nemlich 

 der Ausdruck einer beliebigen Differenz A" Fjc durch die Glieder der Reihe 

 Fx, F{x-i- c), F(x-i-2e), F(a:-f- 3 <?).... F(a: + jue). Dieser Ausdruck 

 ist eine Art von Umkehrung der allgemeinen Taylorschen Reihe, welche 

 ihrerseits F(x + k) durch die Differenzen der Glieder der Reihe Fjc, 

 F{x + e), F{x -f- 2 e) . . . . F{x + ju e) giebt. Aus jenem Ausdrucke wer- 

 den sich dann wieder, indem man Fx ^ x^ setzt, Formeln für die Binomial- 

 Coefficienten entnehmen lassen. Und zwar ist der neue allgemeine Ausdruck 

 deshalb erst aufzustellen, weil dabei die unmittelbar aus der allgemeinen 

 Taylorschen Reihe gewonnenen Ausdrücke der Binomial-Coefficienten An- 

 wendung finden. 



Wiederum aus der allgemeinen Taylorschen Reihe wird eine zweite 

 allgemeine Gleichung zwischen den verschiedenen Differenzen, von ^'"Fx an, 



und den Gliedern der P\eihe Fx, F(x -+- c) F(x -i- 2e) , zu entwickeln 



sein ; wobei wieder die bis dahin gewonnenen Ausdrücke der Binomial-Coef- 

 ficienten eine Anwendung finden. Diese Gleichung wird ebenfalls wieder 

 Ausdrücke für die Binomial-Coefficienten geben, indem man Fx=:x^ setzt. 



